Beziehungen

zwischen der Geradenrelation und der Viereckrelation

bei Ordnungsfunktionen auf Inzidenzstrukturen

Von Wilhelm Junkers in Bonn Herrn Professor Dr. Wolfgang Krull t(um 70. Geburtstag

Einleitung^ )

Die von E. Sperner eingeführten Ordnungsfunktionen (vgl. [12] ^) bis [14]) lichen bekanntlich eine algebraische Behandlung geometrischer Anordnungsfragen. Das wird auch in dieser Abhandlung deutlich, in der wir den Begriff „Ordnungsfunktion" allerdings sogleich im Sinne der vom Verfasser vorgenommenen Verallgemeinerung wenden (vgl. [4] bis [8]), d. h. wir betrachten ^-Ordnungsfunktionen, wobei 31 eine liebige Gruppe sein kann. Щ = {-f-1, —1} kennzeichnet dann den Spernerschen Sonderfall.

Ein grundlegendes Axiom in der Theorie der Ordnungsfunktionen ist die relation, In dieser Abhandlung erörtern wir Beziehungen zwischen ihr und der ,^Viereck- relation^'^). Dabei legen wir jeweils eine möglichst allgemeine Inzidenzstruktur Ш grunde. Angewandt auf eine projektive Ebene, liefern die Ergebnisse (Sätze 1 und 2) den folgenden

Satz . Sei Ш eine projektii^e Ebene, in der jede Gerade mit mindestens 6 Punkten inzidiert*), und % eine kommutative Gruppe, Bezüglich jeder %-Ordnungsjunktion auf Ш sind dann die Geradenrelation und die Viereckrelation äquivalent zueinander,

% 1. Grundbegriffe

Sei Ш eine Inzidenzstruktur (zu diesem Begriff s. z. B. Pickert [11]). Die Punkte von Ш bezeichnen wir mit kleinen griechischen, die Geraden von Ш mit kleinen lateinischen Buchstaben. Inzidiert ein Punkt oc mit einer Geraden a, so schreiben wir hierfür ocl а

^ ) Die hier atiftretenden Begriffe werden — soweit erforderlich — in § 1 definiert.

2 ) Zahlen in eckigen Klammern verweisen auf die Nummern des Literaturverzeichnisses am Schluß der Abhandlung.

® ) Die (in § 1 definierte) Viereckrelation ist eine Verallgemeinerung der gleichnamigen Aussage, die von J. Joussen in [2] (S. 24Öff.) in bezug auf Spemersche Ordnungsfunktionen betrachtet wurde. Anstoß zu einer Untersuchung ihrer Beziehungen zur Geradenrelation gab der Satz 5 der zitierten Arbeit.

* ) Die Behauptung des Satzes 1st für die projektive Minimalebene falsch. Für die projektiven Ebenen, deren Geraden mit genau 4 bzw. 6 Punkten inzidieren, ist sie zwar richtig; die Beweise erfordern aber größeren Rechenaufwand und werden daher hier nicht gebracht.