Junkers , Beziehungen zwischen Geradenrelation und Viereckrelation 65

oder aloc; die Negation hiervon drücken wir durch ocl a oder aloc aus^). Später benutzen wir die folgenden Zusatzaxiome:

11 . Zu je zwei {verschiedenen Punkten л:, ß gibt es genau eine (mit а ^ ß bezeichnete) Gerade^ die mit ihnen inzidiert.

I 2. Zu je zwei verschiedenen Geraden a, b gibt es genau einen (mit а r\ b bezeichneten) Punkte der mit ihnen inzidiert.

Eine Inzidenzstruktur, die diesen beiden Axiomen genügt, nennen wir projektii^, eine solche, die mindestens eines dieser Axiome erfüllt (in Anlehnung an J. Joussen [2]), halb projektiv.

Ferner sei 91 eine multiplikativ geschriebene Gruppe. Ihre Elemente bezeichnen wir gewöhnlich mit A^ B, C, . . ., ihr Einheitselement mit 1. Statt A~^ schreiben wir stets A.

Definition . Unter einer %-Ordnungsfunktion auf Ж verstehen wir eine Abbildung / der Menge aller geordneten Paare (ä, a) [h eine Gerade, oc ein Punkt von Ж) mit hl а m die Gruppe 51. Das Bild von (A, oc) bezeichnen wir mit /(Л, oc) oder kurz mit hoc.

Zusatz . Ist 91 die Gruppe der Ordnung 2 (mit den Elementen + 1 und —1), so nennen wir / eine Spernersche oder zweiwertige Ordnungsfunktion (vgl. Sperner [12], [13], [14]). Wollen wir betonen, daß diese Beschränkung aufgehoben sei, so sprechen wir auch von einer mehrwertigen Ordnungsfunktion.

Bei vorgegebener Ordnungsfunktion / erklären wir für jede Gerade h von Ш und je zwei Punkte oc^ ß von Ш mit^) hioc,ß als ^^Ordnungsverhältnis 1. Stufe'' ein Symbol h(oc^ ß) durch die Gleichung

( 1 ) h{oc,ß)=-li^-hß.

Zusatz . Bezüglich einer Spernerschen Ordnungsfunktion ist h(oc, ß) das Spernersche ^^ZwischensymboV\ das sich folgendermaßen interpretieren läßt:

h ( oc^ ß) = ~i ^ h liegt zwischen oc und ß;

h { oc^ ß) = +i ^ h liegt nicht zwischen oc und ß.

Oder auch so:

h { oc , ß) = —i ^ oc und ß liegen auf verschiedenen Seiten von h;

h ( oc , ß) = +i ^ oc und ß liegen auf der gleichen Seite von h.

Auf Grund dessen lassen sich alle folgenden Betrachtungen auch als Untersuchungen über Anordnungsfragen deuten.

Für das Ordnungsverhältnis 1. Stufe gelten zwei charakteristische Regeln (vgl. [4], §2):

1 . „Transitivitätsregel". Für jede Gerade h und je drei Punkte oc^, 0C2, oc^ mit hi oci, 0С24 oc^ gilt

( 2 ) h(a^,oc2) • h(oc2,oc^) = h(oci,oc^).

5 ) Wir nehmen an, daß die Menge der Punkte und die Menge der Geraden fremd zueinander sind, so daß die hier vei wendete symmetrische Schreibweise statthaft ist.

в ) Allgemein werden durch hj^.h^, ». ..hpioci.oc^,.. .^a^ûie Aussagen

hiioijc (i= 1,2, ...,p;^ =1,2,...,?) zusammengefaßt.

Journal für Mathematik. Band 241 ^