182 Gerhards, Über die Struktur Uzyklischer Gruppen

wobei A^fi* die Fixgruppe des ß^-Moduls A und N^{A) die Normengruppe von A in G bedeutet ([2], II, § 4).

1 . 4 . Die durch (1.1) definierte Erweiterung (G,A) heißt zerfallend^ wenn ein Horn. v: B-^ G existiert, so daß A оv == e^(e^ = identischer Autom. von B),

Ist (G, A) eine zerfallende Erweiterung von А durch ß*, so existiert in G eine zu J9* isomorphe Repräsentantengruppe В derart, daß

( 1 . 6) G = A'B, A<G,Ar^B = {ej.

Alle Gruppen der Ordnung m = \ В \ sind in G konjugiert, wenn (|ß|, |^|) = 1. Jede zerfallende Erweiterung (G, Д) einer abelschen Gruppe A durch В ist demnach deutig bestimmt durch den Horn, yj: B-^ Aut A mit dem Kern

K^ = Zg{A) r^ В {Zg{A) = Zentralisator von А in G).

Im folgenden bezeichnen wir deshalb häufig eine zerfallende Erweiterung (G, A) durch ihre Bestimmungsstücke in der Form (Л, j?, ty).

Eine Gruppe G heiße sukzessiv zerfallend nach dem Untergruppensystem Я^, . . ., Я^ von G genau dann, wenn in G ein System von Untergruppen Gj = Я^, G2, . . ., G^ = G und Horn. ?;^: G^^ Aut Я^^1(1 = 1, . . ., r—^ 1) existieren, derart, daß

^< + i = (^i+i» ^i» nù- В. Sylowbasen und sukzessive Zerfällung

1 . 5. Sei G eine endliche Gruppe, SS{G) ihr Untergruppenverband. Ist G auflösbar und I G I = j^^i • • • p^»" die Zerlegung ihrer Ordnung in Primzahlpotenzen, dann existiert in G eine ^^Sylowbasis' P^,. . ., P^, d. h., ein System von /?^.-Sylowgruppen, so daß G = P^ • • • jP^, P^jPjb = ^k^i ih Ä = 1,. . ., Г, Î Ф k). Je zwei Sylowbasen von G sind in G konjugiert, und der Index [G: Nq{Pi, . . .^ P^)] des Systemnormalisators

r

Nq ( Pi^ ..., P^) = n NgiP^) in G ist gleich der Anzahl der verschiedenen Sylowbasen von G. ^='

Ist t/^ eine Untergruppe von G mit \ U \ == p^^ ' ' ' Pr^ (0 ^ i^i ^ ^i? ^ = I7 • • •? '')? so existiert zu jeder Sylowbasis Pi(U),. . ., РДС/) von U eine Sylowbasis P^, ^ ^ ., Pr von G mit РД£/) = P^ ^ f/ (i = 1,. . ., r). Hiernach folgt durch eine einfache legung:

Satz 1. 1. Sei @ := Pi,.. ., ^r ^^^^ Sylowbasis der auflösbaren Gruppe G. Dann bildet die Menge Ж@ (G) der Untergruppen U çon G, für die Pi ^ U^, . ,^ P^ r^ U eine Sylowbasis darstellt, einen absteigenden Halb verband von SS(G).

Da S8(G) aus 3;^@(G) durch Anwendung derjenigen inneren Automorphismen r(g^ entsteht, die durch Transformation mit den Repräsentanten gi der Zerlegung G ^ g^' Ng(^) + • • • + ^^ ^ Ng(®) in G induziert werden, heiße %<^(G) der ,,Träger' von SS(G) bezüglich der Sylowbasis @.

1 . 6. Die Theorie der allgemeinen Produkte [1], [7] zeigt, daß die Konstruktion von Î@(G) wesentlich vereinfacht wird, wenn die Sylowbasis © von G so angeordnet werden kann, daß G nach dem geordneten System der Sylowgruppen der Sylowbasis @ im Sinne von 1. 4 sukzessiv zerfällt. Für überauflösbare Gruppen erhält man:

Satz 1. 2. Sei G überauflösbar und | G | = j^Ji • • • p^^ mit Pi < ' ' ' < Pr- Weiter sei (S = Pij, *., Pf. eine Sylowbasis von G. Dann zerfällt G sukzessiv nach @.