184 Gerhards, Über die Struktur Mzyklischer Gruppen

1 . 8 . Eine Gruppe G heiße hyperzyklisch, wenn ihre sämtlichen Sylowgruppen zyklisch sind.

Nach Zassenhaus [9] folgt :

Satz 1. 4. Eine nicht abelsche Gruppe G ist genau dann hyperzyklisch, wenn G eine zerfallende (n, m)-bizyklische Gruppenerweiterung mit ((r — 1) n, m) = 1.

§ 2. Strukturtheorie bizyklischer Gruppen

Im folgenden sei G = {a, b} stets eine {n, m)-bizyklische Gruppe der Ordnung \ G \ = p^i - ' p^r mit pi < - - < /),, definiert durch (1. 9) und (1.10). Ist G zerfallend, so schreiben wir G = {a} • {b}.

A . Überauflösbarkeit und sukzessive Zerfällung von G

2 . 1 . Da G = A В das Produkt der zyklischen Gruppen А — {а} und В = {b} mit A r^ В == {a% folgt ([3], VI, § 10):

Satz 2. 1. Jede {n, m)-bizyklische Gruppe G ist über auf lösbar.

Jede (n, m)-bizyklische Gruppe G ist also im besonderen auflösbar. Ist @:= Pi, . . ., P^ irgendeine Sylowbasis von G, deren /?^-Sylowgruppen P^ gemäß der natürlichen Ordnung Pi < ' ' ' < Pr der in G aufgehenden Primzahlen angeordnet seien, dann folgt auf Grund von Satz 2.1 und Satz 1. 2:

Satz 2. 2. Eine {щ m)-bizyklische Gruppe G ist nach der gemäß Pi < ' ' ' < Pr angeordneten Sylowbasis ®:= P^ . . ., Pr sukzessiv zerfällbar.

B . {a}-zer!aUende bizyklische Gruppen

2 . 2 . Unmittelbar durch Anwendung der Isomorphiesätze der Gruppentheorie erhält man die beiden folgenden Sätze:

Satz 2. 3. Jede Untergruppe einer (n, m)-bizyklischen Gruppe G ist bizyklisch, Satz 2. 4. Jedes epimorphe Bild einer {n, m)-bizyklischen Gruppe G ist bizyklisch. Daß nicht jede Untergruppe einer zerfallenden bizyklischen Gruppe G = {a} • {b} eine zerfallende bizyklische Gruppe darstellt, zeigt bereits das in [6] analysierte Beispiel einer zerfallenden 2-Gruppe mit den definierenden Relationen: a^' = b^' = e,b~^ab = a^, in der die maximale Untergruppe M = {ba, ba^} keine zerfallende Erweiterung einer zyklischen Gruppe Z^c^ M durch eine zyklische Gruppe Zg ^ M darstellt.

2 . 3. Eine (fi, m)-bizyklische Gruppe G heiße {a}-zerfallend, wenn jede gruppe и ^G von G = {a} ' {b} eine zerfallende bizyklische Erweiterung von U ^ {a} ist.

Aus der Definition folgt sofort, daß jede Untergruppe U einer {a}-zerfallenden {Пу m)-bizyklischen Gruppe G {U r^ {a}}'Zerfallend ist.

Nicht jede zerfallende (л, m)-bizyklische Gruppe G jedoch ist {a}-zerfallend, wie das in 2. 2 angegebene Beispiel zeigt. Die Frage, wann eine zerfallende (n, m)- bizyklische Gruppe G {a}-zerfallend ist, wird durch den folgenden Satz auf die Frage zurückgeführt, wann eine zerfallende p-Gruppe {a}-zerfallend ist.

Satz 2. 5. Eine zerfallende {щ mybizyklische Gruppe G ist genau dann {a}-zer- fattend, wenn ihre sämtlichen p^-Sylowgruppen P^ (i = 1, ..., r) (P^ /^ {a}yzerfallend sind^).

) Der Beweis dieses Satzes kann leicht mit Hilfe von Satz 2. 2 geführt werden. Die Frage, wann fallende p-Gruppen {Ä}-zerfallend sind, soll in einer späteren Note erörtert werden.