190 Gerhards, Über die Struktur bizyklischer Gruppen

Serie der Länge A, wie die Verbandsanalyse der Gruppe G = {a} - {b} mit den Relationen a^ = b^ = e, b''^ab =^ a^ zeigt, bei der keine Serie der Länge 6 existiert. Ist G jedoch eine zerfallende (n, m)-bizyklische Gruppe G mit

( w , m) Ф 1, (r — 1, n) = 1,

so existiert zu jedem Teiler Д von n mindestens eine Serie von Д konjugierten Untergruppen, denn die Untergruppen {a^} • {i} € ®{G) < SS(G) sind auch in diesem Falle sierend in G,

2 . 13 . Sei Gi:= {a^} • {b^} € ®(G) (A Ф w, ^ Ф m) gegeben. Dann ist

G2 : = { a^ } ^ { b^^ } шii p

m

- ^bzw . G^ := {a^^} • {b^} mit q

eine in %{G) liegende maximale Untergruppe von G^,

Die Anzahl Zi bzw. ^2 der konjugierten Untergruppen von Gj bzw. Gg ^^ ^ i^^ A bzw. -y^g-----Т~ТГ ' ^^^ ^^^® einfache zahlentheoretische Überlegung zeigt,

daß je А zu G^ bzgl. G konjugierte Untergruppen eine zu G2 konjugierte Untergruppe enthalten, wobei A = (r^(^~i> -]_... 4- 1 ^__ jist.

Die Anzahl Zg der konjugierten Untergruppen von Gg in G beträgt j-g----. ,

und eine entsprechende Rechnung zeigt hier, daß entweder 1 oder q zu Gg konjugierte Gruppen in einer zu G^ konjugierten Gruppe liegen, je nachdem, ob (r^ — i,q) = q oder = 1 ist.

2 . 14 . Die Untergruppen einer hyperzyklischen Gruppe G sind nach Lemma 2.15 und Lemma 2.17 sämtlich hyperzyklisch oder zyklisch. Eine Untergruppe {a^} • {b^} € 5) (G)

ist genau dann zyklisch, wenn r^— 1 = o(-j-j, und G besitzt dann genau eine Serie von e л -yrkonjugierten zyklischen Untergruppen der Ordnung-^------.

2 . 15 . Eine wichtige Unterklasse der Klasse aller hyperzyklischer Gruppen bilden die in ([4], § 29) analysierten (p^ mybizyklischen Gruppen mit p '^ m, die in der Theorie der metazyklischen Polynome von Primzahlgrad und insbesondere in der Theorie der reellen Radikalkörper [5] eine fundamentale Rolle spielen. Die hier abgeleitete theorie der hyperzyklischen ^Gruppen umfaßt die der (/?, m)-bizyklischen Gruppen. Der folgende Satz 2. 26 charakterisiert diejenigen bizyklischen Gruppen, deren sämthche Untergruppen zyklisch sind. Es zeigt sich, daß diese Gruppen eine Unterklasse in der Klasse der {/?, m)-bizyklischen Gruppen bilden.

Satz 2. 26. Eine bizyklische Gruppe G besitzt genau dann nur zyklische Untergruppen^ wenn G (/?, m)-bizyklisch mit m = g'*, e = | {r} | = g (g Primzahl^ g Ф p).

Beweis . Sind sämtliche Untergruppen einer bizyklischen Gruppe G zyklisch, so ist G hyperzyklisch. Eine hyperzyklische Gruppe jedoch besitzt genau dann nur klische Untergruppen, wenn alle Gruppen des ausgezeichneten Trägers zyklisch sind. Die

ist nach2.14 äquivalent mit der Bedingung: r^ — 1 = 0 fyj für alle Paare (A, q) Ф (1, 1)

( 0 < А ^ II, A|n, 0 < ^ ^ m, Q\m), Sei [ G | = n • m mit n^^^pt^ ... Лг^ = # ••• ?f*((%i>l,(5.,>0(i-2,...,0,Ä>0(/=l,...,5)).