136 Schwabhäuser, Aodomatisierbarkeit der dimensionsfreien euklidischen Geometrie

( d . h. eine Teilmenge Z derart, daß die Theorie die Menge der Folgerungen aus Z ist) besitzt.

Anmerkung . Da die eben betrachteten Theorien nicht durch Axiomensysteme festgelegt sind, sondern durch die Gültigkeit ihrer Sätze in vorgegebenen Strukturen, ist es zunächst keineswegs klar, ob solche Axiomensysteme existieren. Jedenfalls ist das nicht für jede Klasse JT von angeordneten Körpern der Fall^). Für die Klasse OF aller angeordneten Körper ist die Frage noch offen, ob /"(OF) rekursiv axiomatisierbar ist. (Dagegen ist jede der Theorien /'„(OF) nach Gupta [5] und [6] endlich axiomatisierbar, während in § 5 gezeigt wird, daß /'(OF) jedenfalls nicht endlich axiomatisierbar ist.)

§ 2. Axiomatisierung euklidischer Bäume

Um auch unendlich-dimensionale Modelle behandeln zu können, betrachten wir Strukturen, die durch folgende Angaben festgelegt sind:

a ) einen Vektorraum U über einem angeordneten Körper Й,

b ) ein inneres Produkt, d. h. eine positiv-definite symmetrische Bilinearform auf U mit Werten in Й,

c ) eine Menge M (von „Punkten"),

d ) eine Abbildung "^ von M^ in U (die Menge der Vektoren von U), die den Axiomen

für affine Räume (aus Pickert [10])

- > d^: zu jedem a^ M und jedem u € C/ gibt es genau ein b ^ M mit ab = u,

dg : für jedes a,b,c^M ist ab + bc = ac genügt.

Eine solche Struktur wollen wir einen euklidischen Raum über Й nennen. Unter der Dimension eines solchen Raumes verstehen wir natürlich die Dimension seines Vektorraumes (Mächtigkeit einer Basis); (affine) Unterräume (mit zugehörigem raum) sind in der üblichen Weise definiert.

In einem euklidischen Raum @ der angegebenen Form führen wir in naheliegender Weise eine Streckenkongruenz D^ und eine Zwischenbeziehung B^ als Relationen über M ein durch

D^xyuv gdw xy^ = uv^^

B^xyz gdw es gibt em t^ К mit 0 ^ i ^ 1 und xy = t - xz

( dabei bedeutet u^ das innere Produkt des Vektors и mit sich selbst). Die Struktur <Ж, i)@, B^y ist dann eine für unsere formahsierte Sprache ^(D, B) passende Struktur und möge der zu @ gehörige eingeschränkte euklidische Raum (£" oder die Einschränkung von ® heißen. Wenn @ die endliche Dimension n hat und eine Orthonormalbasis besitzt, so ist ©"" offenbar isomorph zum kartesischen Raum K„(Ä), und jeder kartesische Raum läßt sich in dieser Weise als Einschränkung eines eukhdischen Raumes erhalten. Dagegen ist ein Unterraum eines kartesischen Raumes zwar stets ein (eingeschränkter) euklidischer Raum, aber nicht notwendig isomorph oder gar isometrisch zu einem kartesischen Raum (s. etwa Gupta [5] u. [6]).

^ ) Zum Beispiel ist auf Grund eines Resultats von Julia Robinson [11] die elementare Theorie der nalen Zahlen nicht rekursiv axiomatisierbar. Daraus kann man erhalten, daß auch Гп(Ж) und Г(Ж) nicht rekursiv axiomatisierbar sind, wenn Ж nur aus dem Körper Q der rationalen Zahlen besteht.