Meyer , Bemerkungen zum Satz von Heegner-Stark

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wobei zuletzt d die Diskriminante von Q bedeutet. Zwischen der kubischen und der quadratischen Körperdiskriminante besteht der Zusammenhang

( 1 . 4 )

D = f4,

wobei nach der Stickelbergerschen Kongruenzbedingung für die Diskriminante sich / als eine ganze rationale Zahl erweist. Durch Vergleich von (1. 1) und (1. 3) erhellt, daß der Normalkörper N sich als das Kompositum

( 1 . 5 )

N = KQ

darstellt . Um alle Teilkörper von N/P zu bestimmen, ziehe man den Hauptsatz der Galoisschen Theorie heran.

Da es nur eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung 6 gibt, nämhch die symmetrische Permutationsgruppe von 3 Elementen, ist @ = (gg die Galoisgruppe von N/P. Sie wird erzeugt von dem dreigUedrigen Zyklus S = (0, 1, 2) und der Transposition T ■= (1, 2). Zwischen den Erzeugenden bestehen die Relationen

( 1 . 6) S^ = 1, r = 1, T-^ST = S-^ mit S = (0, 1, 2), T = (1, 2).

Danach ist die Galoisgruppe @ auch als die Diedergruppe der Ordnung 2 • 3, also als die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks gekennzeichnet:

mit

/ . = 0,1,2; .;

0 , 1 .

ÇI 8

Dem zyklischen Normalteiler 3 — ^^) ^^^ der nung 3 entspricht bijektiv als Fixkörper der quadratische Teilkörper fi. Der zyklischen Untergruppe ^ = ^Ту von der Ordnung 2 nebst ihren beiden konjugierten gruppen $' = <5Г>, §" -= iS^Ty entspricht bijektiv als Fixkörper der kubische Zahlkörper К nebst seinen beiden konjugierten Körpern K', K". Die Realitätsverhältnisse in diesem Diagramm sind folgendermaßen bestimmt:

Ist i) > 0 oder, was dasselbe besagt, d > 0, so sind K, K', K" reell, d. h. К ist total-reell

Ist D < 0 oder, was dasselbe besagt, d < 0, so ist einer der Konjugierten, etwa К reell, während die beiden anderen K', K" konjugiert-komplex sind, d. h. К ist einfach-reell

Zum letzteren Typus gehört der erstmalig von R. Dedekind [2] behandelte Fall der reinen kubischen Zahlkörper К = P(]/a ), wo а ein natürHcher Nichtkubus ist.

Für die späteren Untersuchungen wird zwar ausschließlich der einfach-reelle Fall in Betracht kommen, doch gilt die zunächst zu entwickelnde arithmetische Theorie von К allgemein für beide Fälle.

Nach dem Umkehrsatz der Klassenkörpertheorie ist der bikubische Normalkörper N als über dem quadratischen Teilkörper Q kubisch-zykhscher Relativkörper körper über Q zu einer Kongruenzgruppe H vom Index 3 in ß. Wie die genauere metische Untersuchung lehrt [5], ist der Führer von H gerade jene in (1. 4) auftretende ganze rationale Zahl / und die Kongruenzgruppe H enthält alle zum Führer / primen rationalen Zahlen.

Journal für Mathematik. Band 242

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