Primitivmengen in additiven abelschen Gruppen^)

Von Dieter Szimtenings in Mainz.

§ 1. Einleitung

Der Begriff Summenmenge der additiven Zahlentheorie (vgl. z. B. [1] oder [4]) steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff Summand (vgl. Def. 2), insbesondere primitiver Summand^ somit auch mit dem Begriff Primitivmenge (vgl. Def. 3). In dieser Arbeit werden die Begriffsbildungen der additiven Zahlentheorie verallgemeinert auf additive abelsche Gruppen G. Eine Menge A я G heißt primitiv^ wenn sie keine Zerlegung der Gestalt A = В -\- С zuläßt, wobei В und С mindestens zweielementige Teilmengen von G sind. Der diese Problemstellung vorbereitende § 2 handelt über Summanden in G. Sodann werden einige Aussagen über Primitivmengen bewiesen, speziell in Satz 3 solche, die einen Zusammenhang zum Begriff Relativnull herstellen.

Définition 1. Eine (mindestens ein von Null verschiedenes Element enthaltende) Menge N [A) я G heißt eine Relativnull bezüglich der (nichtleeren) Menge A я G^ wenn А + N{A) = А gilt.

Umfassendere Bedingungen für die Primitivität von Mengen А я G lassen sich erst gewinnen, wenn man sich auf geeignete Teilmengen von G beschränkt. Zu diesem Zwecke wird in Definition 4 des § 4 der Begriff der zulässigen Unterhalbgruppe H erklärt, der wesentliche Eigenschaften (etwa Wohlordnung und Monotonie) der Menge Z der nicht negativen ganzen Zahlen auf die Menge H überträgt. Beschränkt man sich auf relative Zerlegungen und relative Summanden bezüglich Я, dann erhält man die Aussagen von Satz 5. Schließlich wird gezeigt, daß (s. Satz 6) eine Menget я Я dann und nur dann in G primitiv ist, wenn sie in H primitiv ist. Im letzten § wird bewiesen, daß jede Teilmenge A einer zulässigen Unterhalbgruppe H entweder primitiv ist oder mindestens einen tiven Summanden besitzt.

Einige Aussagen über Summenmengen und Relativnullen (vgl. [5]) seien hier sammengestellt.

Hilfssatz 1. Si) Sei A я G, В я G, С я G, so ist A + (В + С) = (A + В) + С.

b ) Aus А я В folgt А + С я В + С für alle С я G.

c ) Sei А я G, Вг я G, i е I, I eine endliche oder unendliche Indexmenge^ so gilt

UBi + A=U{Bi + A), 4€i iei

1 ) D 65, Teü IL

Journal für Mathematik. Band 243