126 Luck J Projektive Hjelmslevräume

( 2 . 2 ) Ist W ein Modul, W = ß U^ die direkte Summe von Moduln C/^, so ist rad 1¥ = Ф rad U.,

n

Beweis , Ist w € rad W, so ist w ^ 2! w^oc^ mit w^ Ç ТУ, oc^ Ç rad L. Nun sei für

; = 1

/ = 1, . . ., Д -ш^. = 2J u^j mit гг^^. € U^. Dann ist г(; = ^ ( ^ гг^.^л: J € ^ rad f/^, q. e. d.

Mit <J9^ И ^ /> bzw. </?i, . . ., /?„> bezeichnen wir den von {p^ \i^ 1} bzw. {/?!,.. .,p^} erzeugten Modul.

( 2 . 3) Ist M ein freier Modul, so ist S(L, M) ^ Т(Ц M).

Beweis . Sei U ф V = M. Dann ist

rad и =:rsidU + (U rsTdidV)= и r>. (rad U + md V) = U r^ rad Ж Also ist U^ Т(Ц Ж), q. е. d.

( 2 . 4) Ist M ein freier Modul, p 6 Jf \rad M, so ist (p} € S(L, M).

Beweis , Sei üf = ф <p^>, p = 2J PfOc^, Da J9 $ rad M ist, ist a^ $ rad L für wenig-

stens ein i aus /. Es gibt also ein q aus M, ein V aus 6'(L, TIf) und ein v aus F mit M = <g> Ф F und p = q + V, Dann ist aber <j9> r^ F = 0 und <jd> ф F = <gr> ф F = if, q. е. d.

Wir nennen eine Teilmenge {p^ I ^^ ^} eines freien Moduls M frei bzgl. M, wenn {Pi + ^^^ M \i^ I] eine Menge linear unabhängiger Vektoren in ilf/rad M ist.

( 2 . 5) 5шй F MTid Л/ /reiß Moduln mit V ^ M, und ist {p^ \ i^ 1} frei bzgl. M und in V enthalten, so ist {р^\ i € /} frei bzgl. V.

Dies ist einfach nachzurechnen. Ferner gilt

( 2 . 6) Ist M ein freier Modul und ist U = ф <p,.> € T(L, M) mit p^ + 0 für i^ I,

iei

so ist {Pi\ i^ 1} frei bzgl. M.

Beweis . Sei 2!(р^ + rad M) (oc^ + rad M) = rad M. Dann ist

2J p^oc^ ^ и rs rad M = rad C/ = ф rad (p^y = ф p^ rad L.

iei iei

Da 2!p^oc^ in ф </?^> liegt, sind die Summanden p^a^ eindeutig bestimmt; folglich

iei liegen die p^oc^ in p^ rad L, also oc^ € rad L, q. e. d.

Definieren wir für C/ € r(L, Jlf) den Rang von C/ (in Zeichen RgU) als Rang von

и + rad Ж in r(L/rad L, if/rad ilf), so stimmt der Rang von ф <p^> (aus T{L, M))

%ei überein mit | / |, wenn /?^ Ф 0 ist für alle t € /.

( 2 . 7) Ist M ein freier Modul, und ist [p-^,. . ., p^ frei bzgl. M, so ist

( p , } ® - - - ®<p „ y^S { L , M ) .

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion nach n: Für л = 1 ist die Behauptung durch (2. 4) bewiesen. Sei also U = (p^} ф • • • ф (Pn-i} und U ф V = M. Dann ist Pn= и + V mit ud U und v Ç. V \rad M = V \rad F. Folglich gibt es nach

( 2 . 4) ein W so, daß <i;> ф TF = F ist. Nun ist U r^ (v} = 0 und U + </?„> = U + (v}, also <j!?i> Ф • • • Ф <j9„> Ф IF = if, q. е. d.

( 2 . 8) Ist M ein freier Modul, und ist {p^ \i^ 1} frei bzgl. M, so ist ф <р^> € T{L, M).

iei