202 bucht, Dichtentheoretische Sätze der Zahlentheorie

gibt es dann eine positive Konstante Cg, so daß immer wieder einmal

X X

b b

/ v^(f ) <p'mt ^c,j v'/-i(f) v'{t)dt

b b

gilt . Einerseits ist also immer wieder einmal

X

b

( 22 ) Jjc,^._^(|^_y,(^)|^'(Odf ^ 0,

b

andererseits existiert wegen y>j_i{x) = о{гр^[х)) ein Xq^ so daß für alle u^Xq die gleichung 2 c^'(Pj_i{u) < y)^(u) gilt:

X ^

b я;«

J { c2V^ / - i ( f ) —V^;(f)}^'(Orf^ <~C2-J Wj-i(jj <p'{t)dt + 0((p(x))

b b

= — ^2fj{^) + о(гр^(х)) < 0

für alle hinreichend großen x. Dies widerspricht (22); also gilt (19) und damit der Satz.

Wie bei Satz 3 genügt auch hier die asymptotische Auswertung der Integrale unter (18). Außerdem trifft Satz 4 unter den sonstigen Voraussetzungen auch für das Komplexprodukt der к Mengen

zu , wobei die 93^"^ die ç?(a;)-Dichten 0 besitzen.

§ 3. Folgerungen

Die Sätze 3 und 4 lassen zahlreiche Konsequenzen über Komplexprodukte von Mengen zu, deren q)^(x)' bzw. 9?(a;)-Dichten bekannt sind. Es wird sich zeigen, daß die Integrale (13) bzw. (18) im allgemeinen nicht mit elementaren Funktionen vergleichbar sind. Eine zweite Schwierigkeit ergibt sich, wenn die in den Sätzen 3 und 4 verlangten o-Beziehungen

( 23 ) cpAx), W.-Ax) - о{уМ)) (^ == 2, . . ., k) bzw.

( 24 ) q>(x) = o(f,(x))

nicht erfüllt sind. Die Frage nach dem Grund für das Versagen der bisherigen Sätze in diesem Fall wird uns in § 4 beschäftigen.

Im folgenden wenden wir zunächst Satz 4 auf eine Menge 91 paarweise teilerfremder natürlicher Zahlen mit der

( 25 ) i-^F- -Dichte oc> 0 ^ ' log'' X

an , wobei die nachstehenden Fälle zu unterscheiden sind :

a ) 0 < T < 1, (У < 1,

b ) 0 < T ^ 1, CT = 1,

c ) 0 < T ^ 1, ör> 1,

d ) T = 0 , а < 0.