54 Wegmann, Die Hausdorff-Dimension von kartesischen Produkten metrischer Bäume

eine Teilmenge Y besitzt, für die

dim Y = dim X^ = ос und О < L(Г, Г) < oo

gilt . Die Existenz einer solchen Teilmenge ist aber nicht für alle Mengen in einem dischen Raum gesichert, da es nach einem Ergebnis von Besicovitch [1] Mengen mit unendlichem Hausdorff-Maß gibt, deren Teilmengen alle das Maß сю oder 0 besitzen. Allerdings folgt aus dem Resultat von Eggleston, daß die Ungleichung (1) erfüllt ist, wenn eine der Mengen abgeschlossen oder sogar, mittels eines Satzes von Davies [5], wenn eine der Mengen analytisch ist.

Schließlich gelang es Marstrand [18], die Ungleichung (1) für beliebige Mengen X^ und X2 reeller Zahlen zu beweisen. Seine Beweismethode ist wesentlich verschieden von den vorher verwendeten Methoden und stützt sich auf die Verwendung eines äußeren Maßes, das von Besicovitch [2] eingeführt wurde. Diese Methode läßt sich ohne größere Schwierigkeiten auch auf den Fall anwenden, daß Xj und X^ Teilmengen euklidischer Räume beliebiger Dimension sind. Dies ist explizit von Kahnert [11] durchgeführt worden.

Wesentlich schwieriger ist eine von Larman [13] durchgeführte Verallgemeinerung auf den Fall, daß X^ und X^ Teilmengen eines im Sinne von Larman [12] endlichdimen- sionalen, kompakten metrischen Raumes sind. Larman zeigt in diesem Falle sogar eine Verallgemeinerung der Ungleichung (1), eine Abschätzung für die Dimensionen anstelle der Dimensionszahlen. Diese Aussage wollen wir in der vorliegenden Arbeit für beliebige metrische Räume beweisen.

Schließlich zeigte der Verfasser [22] in Verallgemeinerung des Larmanschen sultates, daß die Abschätzung (1) gültig ist, wenn einer der Räume ultrametrisch ist d. h. wenn eine der Metriken eine verschärfte Dreiecksungleichung

d ( x , z) ^ max {d(x, y), d(y, z))

befriedigt . Unter den Voraussetzungen, die Larman über die metrischen Räume macht, kann man die Räume so neu metrisieren, daß die verschärfte Dreiecksungleichung gilt und die von den beiden Metriken herrührenden Dimensionsbegriffe identisch sind.

2 . 2. Die Hauptsätze. Beweisskizzen

Satz 2. Sind (Xj, d^) und (Xg, ^3) metrische Räume, dann ist

Dim (Xi X X2) ^ Dim X^ • Dim' X^ kj Dim' X^ • Dim X^,

Bemerkung , Sind Я^ und H^ Mengen von H ausdorff-Funktionen, so verstehen wir unter H^ • H 2 die Menge der H ausdorff-Funktionen h = h-^- h^ mit h-^ € Я^ und h^^H^,

Da alle Funktionen h{t) = Г zu H' gehören, ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 2 der

Satz 2'. Sind (Xj, d^ und (Xg, d^ metrische Räume, dann ist

dim Xi X Xg ^ dim Xj + dim Xg.

Wir werden anstelle von Satz 2 den dazu äquivalenten Satz 3 beweisen.

Satz 3. Sind (Xj, d^ und (Xg, dg) metrische Räume, h^ Ç H', h^^ H und

L ( Xi , Äj) > 0 sowie ^(Xg, h^ > 0, dann ist auch

L ( Xi X XgjÄi-Ag) >0.