66 Wegmann, Die Hausdorff-Dimension von kartesischen Produkten metrischer Räume

dieselben Ungleichungen mit h[ an Stelle von Ä^, i = 1, 2, und aus L(Xi x X^, h'^) = oo

folgt L(X^ X ^2, Äg) = oo.

Sei (^г)г=1,2, ^111^ ecbt monotone Nullfolge mit den Eigenschaften:

( 1 ) К{Чг)1К{Ч1^1) ^ 1, К{Ч1-1)1Ыкг) ^ 1

sowie

fur alle i = 1, 2, . . ., wobei n^^ i = 1, 2, . . ., naturliche Zahlen ^ 2 sind.

Eine solche Folge kann man leicht induktiv definieren. Sei etwa ^i = 1, und seien ^1, . . ., ^2г bereits definiert. Dann wähle man 4t+i so klein, daß

ist und wähle ^2^+1 ^ 4+i so? daß

K { hi + ^IK { 4i - i ) ^ 2 und ganz

ist . Ähnlich kann man aus ^1, . . ., ^2г+1 ^i^ ^^hl 1^21+2 konstruieren.

Nun sei N^ = {1, 2, . . ., wj fur i = 1, 2, . . . und

00 00

X^= П iVst-i sowie X^= П N^,,

г=1 г=1

Wir definieren Metriken d^ und ^2 ^^f ^1 und Xg. Seien a; = (x^) und у = (y^) Elemente von X^ (bzw. Xg). Ist x^ 4= 2/1, so sei dj^(x, y) = t^ (bzw. dgl^, 2/) = ^2)- Ist dagegen a;^ = ?/,, i == 1, . . ., тг, aber ж^^^ Ф 2/^+i, so sei di(:i:, г/) = ^2n+i (bzw. ^2(^7 2/) = hn+z)- Ist schließlich o; = 2/» so sei dj^ix^ y) = 0 (bzw. ^3(^7 У) = 0)- Ebenso wie im Beispiel von §1.2 zeigt man leicht, daß d-^ und d^ Metriken sind.

Man sieht nun schnell, daß sowohl L(Xi, Aj) als auch L{X^^ h^ endlich ist, denn Xj ist Vereinigung von ^i * ^3 * * • ^2аг-1 Mengen (Zylindern) mit Durchmesser 1^2аг+1- Also ist

^ ( ^1 , K) й liminf Аг1^з • • • ^2ä:-iÄi(Wi)

Ä - >00

— lim inf ^^^^^^ . . . ^i^^2fc-i) i^ (f Ч

— 11m ini h (f \ ^lV^2fc-rl^ = Äi(^l) < 00.

Ebenso erhalt man

L ( X2 , A2) ^ lim inf 712^^4 * * * ^2kK{hk+è = Kih) < ^-

k - ^ - oo

Damit ist nur noch zu zeigen, daß

( 3 ) L(X, X Х2,Аз) = оо

00

ist . Dazu bilden wir X^ x Xg isometrisch auf den Raum X — П N^ ab, dessen Metrik d definiert ist durch

' t^, falls Xi==y^, i = 1, . . ., w — 1 aber x^ Ф y^ 0, falls x = y. Sind X = (Xi) € Xj und у — (yj ^ Xg, so sei

( p ( x , y ) = {х^,УиХ2,У2, . . .).

^ ( ^ , 2 / ) =