Kiyek , Konstantenreduktion von Ringen und Moduln 41

ebenfalls ein graduierter Homomorphismus vom Grad e. Insbesondere hat man einen kanonischen Isomorphismus graduierter ^-Moduln^)

( 5 . 3. 3) Я^((!), M) (m) -^ H%(t), M {m)),

( 5 . 4 ) Es seien S und S' zwei graduierte ^-Algebren, y):S->S' ein graduierter Л-Algebrahomomorphismus vom Grad 0. Es sei î = {fi)i^i^r ein System homogener Elemente aus S, fl = ipif^) und /' = (fdi<iur- Sei weiter M' ein graduierter 5"-Modul, M = Mf^j. Werden C*({ï), M) und С ({Г), M') mit den in (5.3) definierten Graduierungen versehen, so sind die kanonischen ^l-Isomorphismen (5. 2. 1), (5. 2. 2) Isomorphismen graduierter Л-Moduln, welche funktoriell in M' (in der Kategorie der graduierten iS"- Moduln) sind.

( 5 . 5) Die Kohomologiegruppen eines Polynomringes sind bekannt ([3], (2. 1. 8) bis (2. 1. 14)). Wir benötigen folgende Aussagen: Es sei i? = 71[Го, . . ., T^] der Polynomring in r + 1 Unbestimmten über dem Ring A, versehen mit der natürlichen Graduierung, Т = (Г,)о^,^,. Dann gilt:

i ) Я^(Т", 5) = 0 füri+r+l,

jjr + i^rj^n^ 5) = 5/{T") ist ein endlich erzeugter freier ^-Modul,

ii ) H\(T),S) = 0 füri#r + l,

Я''^^ ( ( Т ) , 6')^ = Ит(Я'-^^(Т'', 6'))^^^(,^i) ist ein endlich erzeugter freier 4-Modul und

H'^ - 'im , S)a = O'für d > - (r + 1),

iii ) Für m^ n^ — d sind die Homomorphismen

bijektiv .

6 . Bewertete Komplexe

( 6 . 1 ) Es sei (A, v) ein pseudobewerteter Ring. Ein Kokettenkomplex C* über А heißt pseudobewerteter Kokettenkomplex, wenn C' = ф C^ ein pseudobewerteter

graduierter ^l-Modul (1.9) und die Korandhomomorphismen d^ : C"-> C^'^^ i;-Homo- morphismen sind. Sei w die Pseudobewertung von C\ Dann ist (C)^ = 0 (C*)^ ein

graduierter Л^-Modul, n{C') = 0 я(С^) ein graduierter л;(Л)-Modul und aus d^-^^ odj, = 0

folgt {d^-^\ о (d% = 0, n{d^-^^)~o7i(d^) = 0, so daß (C\ ein Kokettenkomplex über A^ mit den Korandhomomorphismen {d^)^ und 7г(С*) ein Kokettenkomplex über n(A) mit den Korandhomomorphismen л{а^) ist. Das Diagramm (1. 7. 1) zeigt, daß es einen nonischen Bihomomorphismus von Kokettenkomplexen

( 6 . 1 . 1 ) {CX-^njC)

und folglich einen Bihomomorphismus der Kohomologiegruppen

( 6 . 1 . 2 ) H'((CX)-^H'(7zjn)

gibt .

5 ) Ist M = Ф Mn graduierter /S'-Modul, so wird für jedes ganze m der graduierte *9-Modul M{m) durch M(w) = 0 ilfn+m definiert.

ness

Journal für Mathematik. Band 247 "