Müller und Petrich, Erwdtemngen eines Ringes durch eine direkte Summe

einen Automorphismus б von А und ein Element а von А gegeben sind, für 0 muß dabei Ô" ein innerer Automorphismus sein, der von а induziert wird, und oc ist ein Fixpunkt von 0. Geht man nun im Ringfall entsprechend vor, so wird В als Faktorring des freien klischen Rings {x] durch ein Ideal / dargestellt. Bei {x} handelt es sich um die Menge aller Polynome in x mit ganzzahligen Koeffizienten ohne absolute Glieder, also um den Ring xZ[x\ wenn Z den Ring der ganzen Zahlen bezeichnet. Das Ideal / ist dann die Menge aller Polynome i{x) von x Z[x], für die f{b) = 0 ist, wenn wieder b das erzeugende Element von В ist. Der triviale Fall / = 0 liefert wie bei den Gruppen nur zerfallende rungen. Während nun aber bei Gruppen der Fall N Ф i ein einziges erzeugendes Element, ж**, für N lieferte, erhalten wir hier für / als ein Ideal des noetherschen Ringes xZ[x] im allgemeinen mehr als ein erzeugendes jedoch endlich viele erzeugende Elemente

Wie es nun innere Automorphismen gibt, gibt es auch innere Bitranslationen, die von Ringelementen induziert werden. Die erste Bedingung für die Konstruktion aller zyklischen Ringerweiterungen ist daher ganz entsprechend, die Existenz einer permutablen Bitranslation 0 von A, für die /^(0) eine innere Bitranslation für t = 1,..., m ist. Dem Element oc entsprechen nun Elemente ßi, - » -<, ßm von Л, die die inneren Bitranslationen /i(6), • .-,/«,(0) induzieren. Der Forderung, daß oc von 0 fixiert wird, entsprechen die Bedingungen

eßi = ß^e für 1 = 1,..., m,

auf deren Definition wir hier nicht näher eingehen wollen.

Hier muß gesagt werden, daß die Tatsache, daß / im allgemeinen kein Hauptideal ist, Voraussetzungen an /i(x), . . .^f^(x) nötig macht. Wir müssen nämlich für m > 1 ein spezielles Erzeugendensystem für /, eine reduzierte Basis, wählen und brauchen für beliebige Elemente von xZ[x] geeignete, eindeutige Repräsentanten der Restklassen modulo /, die wir als Ableitung von Satz 1 in dem Korollar erhalten. Weiter ist im Fall m > i noch eine „Verträglichkeit" für die Elemente ß^, , . ,, ß^ nötig, ohne die der Satz

falsch wird; es muß nämlich jede Gleichung 2!и^{х)1^(х) = 0 für Polynome и^{х) in

Z [ x ] stets JS Ui{e)ßi = 0 implizieren.

i = l

Im ersten Kapitel definieren wir für jedes Ideal / des Polynomrings in einer bestimmten X über einem Hauptidealring A eine reduzierte Basis und zeigen in Satz 1, daß für jedes Element von A[x] in geeigneter Weise ein eindeutig bestimmter tant modulo / gefunden werden kann. Das dabei angewandte Verfahren könnte als eine Verallgemeinerung der Teilbarkeit für euklidische Ringe angesehen werden. Es läßt sich, wie Satz 2 zeigt, allerdings nur auf wenige Ideale eines Hauptideals von A[x] anwenden. Als Korollar ergibt sich eine Besonderheit dieser Zerlegung für den Fall A = Z, Dieses Korollar ermöglicht nun den Beweis des Satzes 3, der Konstruktion aller zyklischen Ringerweiterungen, also aller Erweiterungen eines beliebigen Ringes durch einen klischen Ring. Eine solche Erweiterung ist wie aus der oberen Diskussion hervorgeht, durch ein (m + l)-tupel (0; ^i,..., i^,,,), das gewissen Bedingungen genügt, bestimmt, weshalb wir sie mit Е(в; ß^,. .., ß^) bezeichnen. In Satz 4 beweisen wir, daß jede klische Erweiterung zu einer Erweiterung Е{в; ß^j.. .^ ß^) äquivalent ist. Schließlich behandeln wir in Satz 5 noch die Frage der Äquivalenz zweier Erweiterungen E{e;ß,,...,ßJmidE(e';ß[,...,ß'J.

Für zyklische Gruppenerweiterungen vereinfacht sich der Satz, wenn die Gruppe А triviales Zentrum hat, dann ist nämlich eine Erweiterung von А durch eine zyklische