Mauve , Ausgezeichnete p-Gruppen in der Automorphismengruppe gewisser Moduln und Ringe 57

d ) Sind iVj, N^ G-imariant, so folgt: G{N^, N^) < G.

e ) Ist N,^N,^N[, so folgt: G(N,\N,, N[) = G(N,, N[). Beweis, a) und b) sind trivial.

zu c): oc) G(N^, N[) Ш G(N^, iVj r^ N[) nach a), und für a € G(N^y N[) sowie für n^N^ gilt einerseits an — n^N[, andererseits gilt an — n^N^, da N^ G{N^,N[)- invariant ist. Also folgt er € G(7Vi, iVj r^ N[).

ß ) Für niN^ns N[ und (7 € G{N^, N[) ist an — n^N[, aber auch an — n^ N^, weil iVi G{N^, 7V;)-invariant ist. Deshalb gilt a{N^ r> N[) ^N^r^ N[.

y ) Nach oc) genügt es zu zeigen, daß G(iVi, N^ r\ N[) Gruppe ist. Es seien dazu (7, T Ç С(Л^1, Л^1 ^ N[)^ und es sei n^ N^, dann ist

a - 'n — n = a-'(n — an) € a-'{N^ rs N[) = N^r^N[

nach /5), ferner ist (ar)n — n = a{rn — n) + {an — n)^Nir\N[ nach ß), also a-\ar^G(N^,N,r,N[).

zu d) Nach c) y) ist G(N^, N^) Gruppe. Für а € G, r € G(iVi, N^) und д ê iVj folgt т((Т~^гг) — a~^n € iVg, also ara'^n — n^ N^. Deshalb ist ara"^ Ç С(Л^1> Л^г) ^^^ somit G(7Vi,7V,) <] G.

zu e) Trivial ist G(N^\N2, N[) ^G(Ni, N[). Ist umgekehrt а ^ G(Nj\N,^, N[) und n^ N2, so gilt ^ + ^' Ç iVjXiVg für n' é TV^XiVg? ^^^^ i^^

an — n = [a{n + n') — (n + n')] — (an' — n') € N[,

aber auch an — n^N[ für n^N^\N2 nach Voraussetzung. Daher ist a ^ G(Ni, N[) und somit G(iVi r^ N^, N[) = G(N^, N[).

( 1 . 6) Ein nützliches Hilfsmittel ist der folgende Hilfssatz:

Satz . Es sei a ein Ideal in S, und es seien ^/V, ^N' zwei Teilmoduln von ^M mit der Eigenschaft gM ^ ^N '^ ^N' ^ a^M, ferner deute " die Restklassenabbildung von S nach a bzw. von N nach N' an. Dann wird N zu einem S-Linksmodul vermöge der Definition s n: = sn für alle s ^ S und alle n^ N.

Bemerkung . Beachte: N bzw. TV' bezeichnet die Additivstruktur von ^Л^ bzw. gN' [s. (1. 2)].

Der hier beschriebene Ä-Modul werde im folgenden mit ^(Л^, iV', a) abgekürzt. Ist gN über 6' endlich erzeugbar, etwa ^N = s(^i^ • . -, n^)^ so wird ^(iV, iV', a) durch 72i, . . ., w^ über S erzeugt.

( 1 . 7) Bei festem a und ^N' ^a M gilt:

Satz . Es sei Ш die Menge der S-Teilmoduln gN von gM mit gN Ш s^' ^^^ 2Л die Menge der S-Teilmoduln von g(M, N\ a). Setzt man dann, für gN € 9DÎ, f(sN) = s(N, iV', a), so wird Ш durch f bifektiv auf Ш abgebildet, f ist inklusionserhaltend.

( 1 . 8) Es sei nun wieder G eine zu gM gehörige Gruppe, die auf M endlich ist, und es habe ~ dieselbe Bedeutung wie in (1. 6). Ist dann gN' ein G-invarianter Untermodul von gM, so läßt sich G, vermöge der Definition am, : = am für alle a ^ G und alle m^ N, als eine zu NjN' gehörige Gruppe auffassen.

Ist Û ein G-invariantes Ideal aus 6', so gilt:

Journal für Mathematik. Band 249 8