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Strauße Funktionalanalytische Fassung des Satzes von Radon-Nikodym. I

7 . 3. Hilîssatz. Sei Ж einer der Räume S°^(t;), %(v), SH{v), ^{v) oderW{v) und X der zugehörende Quotientenraum dcj^"^ (v) der Klassen çon Funktionen aus Ж modulo dem Raum der lokalen v-NuUfunktionen. Wenn dann Ж ein monotones Lifting hat, so hat X die schaft (SO).

Beweis . Sei Г die monotone Liftingsabbildung, die nach Voraussetzung in Ж existiert. Dann ist aber auch die durch l (/) : = V (/)—Г (0) f ür / € Ж definierte Abbildung eine monotone Liftingsabbildung. Die durch L{f') : = 1(f) für f ^ X definierte Abbildung ist dann ein Ordnungsisomorphismus^^) von X auf Ж: = /( Ж) mit L(0') = 0. Denn zunächst ist L wohldefiniert, da aus f = g lokal t;-fast überall auch / ^ ^ und g ^ f jeweils lokal iJ-fast überall folgt und daraus 1(f) ^l ig) und 1(g) "^ 1(f), also schließlich 1(f) = 1(g); die übrigen von L behaupteten Eigenschaften lassen sich leicht verifizieren. Nun ist aber jeder Ordnungsisomorphismus (p ein inf-Isomorphismus, d. h. es gilt

( p ( mî ( x , y ) ) = mî((p(x),(p(y))'').

Ist daher eine orthogonale Familie (fß)ß^B i^ ^ gegeben, wo o. B. d. A. /^ ^ 0 ist, so folgt aus inf (/^, /;,) = 0 iüvß +ß' auch inf (L(/^), L(/;,)) = L(mî(f;, f'^.)) = L(O') ^ 0, also infG(/^), Kfß.)) = 0 und l(fß) € f'ß für alle ß Ç В.

7 . 4. Hilîssatz. Hat L°^(v) die Eigenschaft (SO), so existiert für das positive Integral V eine Zerlegung (Z).

Beweis . Nach P. 0. Snow und H. W. Ellis [17] existiert aufgrund des Zornschen Lemmas für das Integral v stets eine Zerlegung (ND), d. h. eine Familie (Aq)^^^ aus t'-integrierbaren Teilmengen von T mit der Eigenschaft, daß v(Aß r\ Aß,) = 0 gilt für ß =\= ß\ und zu jeder Mntegrierbaren Teilmenge A von T stets eine Folge (ßJneN^^

00

mit v(A) = 2! 'v(A r\ Aß ) existiert. Wird dann mit Xß die charakteristische Funktion

n = l

von Aß für jS€ В bezeichnet, so ist (Xß)ß^B ^^^^ orthogonale Familie in L°°(v), nach aussetzung gibt es dann Vertreter gß Ç Xß ^ö> daß inf (| gß |, | ^^/|) = 0 ist für ß Ф ß'. Setze /r = I ^Л für ^8 € B, dann ist auch fß € Xß und inf (/^, /^,) = 0, also [fß Ф 0] r^ [/^, ф 0] = 0. Wenn Cß : = [fß= 1] gesetzt wird für /8 € B, folgt daraus Cß r\ Cß. = 0 für ß Ф ß\ Aus ^^ = fß fast überall bez. v folgt ebenfalls ^-fast überall fß = Xc • Die Menge Cß ist also auch i;-integrierbar, und für alle ß ^B muß v(Cß) = v(Aß) gelten. Für А ^ 2^ ergibt dies

00

mit derselben Folge (ßJn^N ^ В wie oben v(A) = 2J v(A r\ Cß); denn aus v(Cß) = v(Aß)

n — l

folgt auch v(A r^ Cß) = v(A r^ Aß). Die Familie (Cß)ß^Q ist also eine Zerlegung (Z) für das Integral V.

7 . 5. Satz. Wenn Ж bzw. ^ irgendeiner der Räume 9K„, S°°(t;), 3l(v), ^(v), Ш(у) ist und Z irgendeiner der Räume M(v), J(v), A(v), L'^(v), so sind die folgenden Aussagen gleichwertig :

( i ) Der Raum Ж hat ein monotones Lifting.

( ii ) Der Raum Z hat die Eigenschaft (SO),

( iii ) Das Integral v hat eine Zerlegung (Z).

( iv ) Der Raum ^ hat ein lineares Lifting.

Beweis . Wenn Ш(v) ein monotones Lifting hat, so hat nach Hilfssatz 7. 3 der Raum M(v) die Eigenschaft (SO). Daß dann auch die Teilräume J(v), A(v) und L'^(v) von

31 ) Vgl. [7], S. 59.

32 ) Vgl. [7], S. 61.