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Bur de ^ Verteilungsdgenschaften von Potenzresten

bei den Gleichungen (3. 8) anscheinend die Gaußschen Summen y(x^); r = l, , . ., n — 1. Die Gleichungen (3. 8) haben die Form

( 3 . 14 ) и x4v)x4v + A) = a>„ = ^[f^j}^?- x4-^)x'W; r,s, r + s фО(п).

V mod p У\Х )

Aus der Gestalt der linken Seite von (3. 14) ist zu entnehmen, daß ш„ eine ganze Zahl des Korpers der ^i-ten Einheitswurzeln ist, deren Betrag der rechten Seite von (3. 14) und (1. 6) zufolge ]/pht. Somit gilt

2яг

( 3 . 15 ) P = <On^„; «„€/c(e").

Damit ist die Berechnung der Sequenzanzahlen oc^ j^ im wesentlichen auf die findung der Zerlegungen (3. 15) von p im Kreiskorper der n-ien Einheitswurzeln rückgeführt. Welche Zerlegung jeweils zu nehmen ist, hangt einmal davon ab, welcher der (p{n) möglichen der betrachtete Charakter x der Ordnung n ist, zum andern werden sich aus den expliziten Formeln fur die von Natur aus ganzzahligen Sequenzanzahlen oc^j^ Einschränkungen in Form von Kongruenzen ergeben, die jedenfalls in den stehend behandelten Fallen ^ = 3, 4, also der kubischen und biquadratischen Charaktere, die zu wahlende Zerlegung (3. 15) bis auf die oben erwähnte 9^(3) = (p(i) = 2-deutigkeit völlig bestimmen.

Aus der Multiplikativitat der Charakterwerte ergeben sich zwischen den schiedenen Sequenzanzahlen die Beziehungen

( 3 . 16) <, = <%U*-.; XW = ^", ^, ft = 0, . . ., и - 1, A Ф 0{p).

Es genügt daher, die Anzahlen fur Я = 1, also der Sequenzen im eigentlichen Sinn zu berechnen.

§ 4. Die Sequenzen der Länge 2 der kubischen und biquadratischen Restklassencharaktere

modulo p

Die eben skizzierte allgemeine Methode soll nun fur гг = 3, d. h. fur die kubischen Reste durchgeführt werden. /? = 1 modulo 3 sei also eine ungerade rationale Primzahl und X einer der beiden kubischen Restklassencharaktere modulo p. Wir wollen die quenzanzahlen a]^ k ^^ X berechnen und schreiben abkürzend

( 4 . 1) y(x) = r, 4* = oc^y, i, Ä: = 0, 1, 2.

Wahlen wir als primitive dritte Einheitswurzel

Q = e^ =—-2 + 2" /З ' so lauten mit

( 4 . 2 ) xW = xa) = X(-^) = ^. y{x') = yCx) = y. ^ = o

У

die drei Systeme (3. 11)

Xi -\- X2 ~r ^2 ^^ jP ^ Xi = OCqq -\- OCqi -\- (Xq2

( 4 . 3) X^ + QX2 + ^^3 = --- 1 ; ^2 = ^10 + «11 + «12

X^ -\~ QX2 -f" Q^3 ^^^ 1 ^3 ^^ «20 I «21 ~r «22