Pfeufjer^ Quadratsummen in totalreellen algebraischen Zahlkörpern

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Prinzipiell kann man zwar für den Körper mit d = 148 nach der Methode von Siegel [13] zu dem Wert Ca (2) kommen, aber es ist einfacher, direkt zu zeigen, daß in К alle n-Nachbarn von E^^^ zu E^^^ isometrisch sind. Dabei heißt nach Kneser (siehe [5] und [12]) ein Gitter

и =:^ ow + {y^L\ (w, y) € o}

1 TT-Nachbar von L für ein Primelement л von ÜC, wenn tü^~L\L und Q{w)Ç.o ist.

л

Wenn bb keine kubischen Teiler hat^ L totaldefinit und L^ für p — ло isotrop und unimo- dular ist, sind Repräsentanten aller Klassen des Geschlechts von L durch endliche, mit L beginnende Ketten von iterierten л-Nachbarn erreichbar. Bei ungeradem p sind die von w, w -\~ у mit у ^ L und w" mit a^O(L) erzeugten я-Nachbarn isometrisch. Da isometrische Gitter isometrische Tr-Nachbarn haben, braucht man nur einen von ihnen zu betrachten. Das System der drei algebraischen Zahlen 1, я, л;^, wo л der Gleichung

x' — 7x^+ 13:r —5 = 0

genügt , hat die Diskriminante 148. Da kein echter Teiler von 148 Diskriminante eines

kubischen Zahlkörpers ist, bildet dieses Zahlsystem eine Ganzheitsbasis des hier in Rede

stehenden Körpers. Wegen NщQ (л) = Ъ hl p = ло ein Primteiler von 5 in K,

Ef^ ist unimodular, also nach [14] § 2 (15) isotrop, so daß man das Verfahren der

TT - Nachbarn auf E^^' = ox ± oy 1. oz anwenden kann. Durch Ausnutzung der obigen

Regeln sieht man leicht, daß der einzige möglicherweise zu E^^^ nicht isometrische л-

4 3 /5\2

Nachbar L von w = — x -]-----у mit Qiw) ={ — ] € о erzeugt werden kann. Es ist

л л \л J

oi—x H— у]ф о{лу) ± oz ^

\л л I

^ 1

^50 also Е^^^ ^ L genau dann, wenn £^^^ ^ | ^^ ' 1 ist. Um die letzte Beziehung zu

weisen , wird zuerst eine ganzzahlige, primitive Darstellung л'^ = oc^ -{- ß^ hergestellt.

An den drei reellen Primstellen q ist notwendig \ oc \^ < л^ und | ^в |^^ < л:^^ (л ist

totalpositiv ) , so daß für die Koeffizienten von oc und ß in der Ganzheitsbasis 1, тг, л^

nur endlich viele ganzrationale Zahlen zur Verfügung stehen. Man findet, daß etwa

oc == 2 — ^л -^ л^, ß = i — л Lösung ist. Sie ist primitiv, da det ( '^ = 1 wird,

\oc ß )

wenn man a' = 12 — 11 л; + 2л^ )S' = 18 — 13я + 2я^ setzt, und es folgt £(2) = ox ± oy = o{(x'x + ß'y) e 0{(XX + ßy)

mithin auch h = i für den nichtzyklischen Körper.

Vermutlich sind damit alle totalreellen algebraischen Zahlkörper bekannt, in denen das Geschlecht von E^^^ mit der Klasse von E^^^ zusammenfällt, denn Körper vierten Grades dieser Art sind, wie man sich noch leichter als hier durch dieselbe Methode mit Hilfe der Tabelle in [3] Seite 155 überzeugt, nicht vorhanden.