Popp , Stratifikation von Quotientenmannigfaltigheiten

r / Cist . {a operiert also auf dem kanonischen, rationalen Teilkörper von C( Г) trivial.) jfir/<l, er) heißt die reduzierte Automorphismengruppe der Kurve Г/С Die Strata von M^jC können dann ebenfalls durch Satz 3 beschrieben werden, wenn man dort bei hyperelliptischen ven die Automorphismengruppe durch die reduzierte Automorphismengruppe ersetzt.

Wir geben im folgenden noch einen interessanten Zusammenhang zwischen der Stratifikation der Modulmannigfaltigkeit MJC und der Stratifikation der faltigkeit für hyperelliptische Kurven vom Geschlecht g in Charakteristik 0 an. Wir setzen dabei der Einfachheit wegen voraus, daß ^ > 3 ist. Für ^ = 3 gelten die folgenden Ergebnisse auch noch, wenn man bei hyperelliptischen Kurven statt der mengruppe die reduzierte Automorphismengruppe nimmt.

Die geometrischen Punkte von MJC^ welche zu hyperelliptischen Kurven gehören, erzeugen eine abgeschlossene, algebraische Teilmannigfaltigkeit ^f^/С von MJC. (Hinweis: HgjC ist über Q definiert. Wir nennen HJC die hyperelliptische Teilmannigfaltigkeit von Mg. Es ist uns nicht bekannt, ob HJCzn der von Fischer [9] konstruierten faltigkeit Ж g für hyperelliptische Kurven vom Geschlecht g isomorph ist. Man hat doch immer einen surjektiven Morphismus von der von Fischer konstruierten mannigfaltigkeit Ж g auf die Mannigfaltigkeit Hg, (Zur Konstruktion dieses Morphismus benutze man Überlegungen wie sie bei Mumford [18] im Beweis von Theorem 7. 13 gegeben sind.) Wüßte man, daß HgjC eine normale Mannigfaltigkeit ist, so würde folgen, daß Ж g und Hg isomorph sind. (Benutze Zariskis Main theorem [19].)^

Uns interessiert, ob bei der in Satz 3 angegebenen Stratifikation von Mg die elliptische Teilmannigfaltigkeit Hg berücksichtigt wird, und beweisen darüber:

Satz 4. Es sei g > 3. H sei die volle Automorphismengruppe einer hyperelliptischen Kurve und S% = S^ r\ Hg (S^ ist wie in Satz 3) sei die Menge der C-wertigen Punkte von HJC mit H als genauer Automorphismengruppe, Dann gilt: S% ist eine abgeschlossene^ glatte Teilmannigfaltigkeit von HJC und die irreduziblen Komponenten von S^ sind Strata von M gl С Insbesondere ist der reguläre Ort von Hg ein Stratum von Mg,

Zum Beweis benötigen wir einige Hilfssätze, die an sich interessant sind. Es wird sich dabei auch die Existenz der Teilmannigfaltigkeit HJC ergeben.

Lemma 1. Es sei R ein diskreter Bewertungsring vom Rang 1 mit algebraisch schlossenem Restklassenkörper к und Quotientenkörper K, TjR sei eine Kurve über R vom Geschlecht ^ ^ 1, d,h, TjR ist ein irreduzibles, projektives und glattes R-Schema^ so daß die geometrischen Fasern irreduzible und glatte Kurven vom Geschlecht g sind, fj == Г X Spec(ür) sei die allgemeine Faser und Г^ = Г x Spec (/с) die abgeschlossene Faser von TjR, Dann gilt :

1 . Ist G eine endliche Gruppe von Automorphismen von rjK^ so kann G zu einer Gruppe von Automorphismen von ГjR ausgedehnt werden, G operiert dann auch auf der schlossenen Faser TJk von TjR als Automorphismengruppe^ und zwar so^ daß verschiedene Elemente von G verschieden operieren, {Die Automorphismengruppe der Kurve TJk enthält daher mindestens eine Untergruppe^ die zu G isomorph ist,)

2 . Ist die Ordnung von G prim zur Charakteristik A:, so ist das Quotientenschema r^jR von Г nach G glatt über R,

Beweis , Ein Beweis von 1. ergibt sich aus der Theorie der minimalen Modelle für Kurven über diskreten Bewertungsringen vom Rang 1 zusammen mit einigen elementaren Ergebnissen der Reduktionstheorie von Funktionenkörpern einer Variablen. Wir führen dies etwas genauer aus: