114

N ölte J Schnittpunkte von Kegelschnitten in der hyperbolischen Geometrie

Kegelschnitt (d. h. die Menge der selbstpolaren Punkte von tzq), Iq das Innere und A^^ das Äußere von Kq. Mit H bezeichnen wir das zu der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebene {П, tiq) gehörende Kleinsche Modell. Es sei bemerkt, daß nach [1], § 15 auf jeder Geraden aus H zwei Punkte aus Kq liegen. Für eine nicht selbstpolare Gerade g der jektiv-metrischen Ebene (77, л^о) bezeichne а g die Spiegelung an g. Sind Л, 0 zwei Punkte aus 77, so setzen wir Z(A^ 0) = {Aa^\ xl O}. Gilt A^ В ф 0 und A^ Bl Otzq, В ^ Z{A^ ö), so ist, wegen der freien Beweglichkeit in TT, Z(A^ 0) — Z(B, 0). oc sei eine projektive Kollineation von 77, dann ist n^ — oc~^nQ(x eine hyperbolische projektive Polarität. Bezeichnet Kj^ den zu tii gehörenden Kegelschnitt, 7^ dessen Inneres und Aj^ dessen Äußeres, so gilt K^ — KqOc, I^ = IqOc, A^ = AqOc,

Satz 1. Sei 0 ein Punkt aus 77, А ein Punkt aus Iq^ А Ф 0, Л I Отг^, dann gibt es eine Perspektive Kollineation 6^ P{0^ OtzqY) mit

( 1 ) Z(A,0)sK,d.

Ist umgekehrt ô ^ P{0, Ojiq), so gilt (1) für jeden Punkt A aus Iq mit A ^ KqÔ^ A Ф О, А I Ouq,

Beweis , Die Gerade (Л, О) gehört zu H und inzidiert daher mit zwei Punkten JE, E' von Kq. Sei b € P(0, On^ die Perspektive Kollineation mit Eb = A. Dann gilt für n^ = b'^TiQb

Aa^l (Aa^)n^ für alle x mit xl 0^ xl xnQ.

Denn es ist tiqG^ = g^tzq^ ba^ = a^b für xl 0. Aus E I E^q folgt Ea^b I EnQa^b^ und wegen Ea^b = Eba^ ~ Aa^, EiiQÜ^b = Ео^ЬЬ~^щЬ = Eba^TiQ — Аа^л-^ gilt die hauptung.

Für den Beweis der zweiten Aussage des Satzes seien wieder £, E' die beiden auf der Geraden (^, 0) liegenden Punkte aus Kq. Es ist AI An^ mit я^ ~ b'^TiQb. Also gilt А I Ab'^TÏQb^ Ab~^ I Ab'^^TÏQ] Ab"^ ist daher gleich E oder gleich E'. Aus dem Bewiesenen folgt Z(A,0)^KQb.

Korollar . Sei A aus Iq.

a ) Ist 0 € 7o, so gilt KQb = Z(A, 0).

b ) 75^ 0 € Kq, so gilt KQb = Z(A, 0) w {0}.

c ) 7^^ 0 ^ Aq, so gilt KQb == Z(A, O) ^ {Ej, Eg}» <^obei Ej, E^ die beiden auf Otiq liegenden Punkte von Kq sind.

Die Aussagen des Korollars folgen aus der freien Beweglichkeit von H und aus der Tatsache, daß im Fall b) der Punkt 0 und im Fall c) die Punkte JSj, E^ auch selbstpolar bezüglich ^1 = b~^^Qb sind.

Aus dem Korollar folgt KQb ^ Iq^ Kq, wenn KQb r\ Iq ф 0.

Es seien Oj, 0^ zwei Punkte aus 77, und es sei b^ € 7^(0^, О^Яо), b^ € 7*(Ö2, ОдЯо). Wir setzen n^ = b'^^TiQb^ (i = 1, 2), und bezeichnen mit K^ die zugehörigen Kegelschnitte, mit 7^ deren Inneres und mit A^^ deren Äußeres. Es sei vorausgesetzt K^ r\ Iq Ф 0, also K^^Iq^ KqÎvlt i= 1,2.

i ) P{Of Ощ) bezeichne die Gruppe der Perspektiven Kollineationen mit 0 als Zentrum und 0% als Achse.