Kutzler , Unendlichdimensionaky зершгеНе Limestektonanme und Limesgruppm 103

aber , daß (E, a>°(ind (LV)yl^)) die Eigenschaften eines indukti\ en Limes in der Kategorie TV besitzt.

Analog zeigt man. Ist ((£,, ЛХ A, J ein induktives System lokalkonvexer, topolo- gischer Vektorraume, so ist (E, y)^{md (LY)A^)) der induktive Limes dieses Systems in

dei Kategorie KV der lokalkonvexen, topologischen Vektorraume Ferner gilt in der Kategorie der Limesvektorraume das folgende Diagramm

( E , ind (LV)ЛJ-----—----> (£, œ'{md(Ly)A,))-----'^-----. (£, /(md(LV).4,)).

2 . Ein Lemma über schwache Topologien

( 2 . 1) Lemma. Seien E ein Vektorraum über K, a eine schwache Topologie und A eine lineare Topologie auf E derart, daß lAj, • (£, a) -> (£, A) stetig ist. Dann ist auch A eine schwache Topologie auf E (Hie? bei werde unter einer schwachen Topologie auf E die Initialtopologie von E bezüglich eines Teilraums des Dualraurns i^on E verstanden )

Beweis . Sei (£, a)' = E' der Dualraum von (/?, a). Es gilt a = a(E, E'), wobei a(E, E') die von der Dualität (E, E') auf E erzeugte schwache Topologie bedeute. Um zu zeigen, daß A eine schwache Topologie ist, genügt es zu beweisen, daß es zu jeder Л-Null- umgebung U Funktionale ej, . ., e'^ aus (E, A)' und ^ > 0 derart gibt, daß fur x aus £, das den Relationen \ (^x^ е[У \ < (5 fur ^ = 1, . . ., д genügt, stets x^ U folgt.

Da jeder topologische Vektorraum regular ist, kann man zu U stets eine Л-Null- umgebung V finden, so daß ihre abgeschlossene Hülle F" (bezüglich /1!) die Relation F~ + F~ ^ f/ erfüllt. Wegen der Stetigkeit von id^^ (E, o')->(E, Л) ist die Л-Nullum- gebung V auch eine er-Nullumgebung. Da о eine schwache Topologie auf E ist, gibt es einen Unterraum F von E, der endliche Kodimension besitzt und fur den E ^ К gilt Insbesondere hegt dann wegen V "^U auch die abgeschlossene Hülle E~ (bezüglich Л') ^ on F m и Es sei nun {EjF~, Ад) der endhchdimensionale Quotientenraum von E nach F~ mit der linearen Quotiententopologie Ag, die durch den natürlichen Homomorphismus г' (E, Л) -> EIF~ induziert wird. Da E~ abgeschlossen ist, ist Ag separiert. Da EjF endlichdimensional ist, stimmt Ag nach dem Satz von Tychonoff mit der natürlichen Topologie Лпа! von EIF" uberein. Ferner ist v{U) Nullumgebung in (E/E~, ЛпаО, denn v{ü) umfaßt v(F~), und es ist v''^{v{V~)) = V + F' eine Nullumgebung bezüglich Л. Sei nun dim^(E/E~) = n. Dann gibt es, da EIF' die natürliche Topologie tragt, n linear unabhängige Funktionale /i, . . , f^ auf EjF" und ô > 0 derart, daß fur jedes Element z aus EIF~, das fur i = i, . . .,n den Relationen | < r, Д' > | < ô genügt, folgt, daß z^v(V~) gilt. Man betrachte nun die stetigen, linearen Funktionale e[ =- f[ ov auf E Fur alle x aus E, die die Beziehungen | < д;, <> | < (5 mit t -= 1, . ., n erfüllen, folgt nach Konstruktion der /*;, daß v(x) 6v(F~) gelten muß. Also ist x^v-\v(V~)) =- V~ + E". Wegen V~ -\- F' ^ V~ + V" ^ и folgt x^ U. Damit ist bewiesen, daß Л eine schwache Topologie ist.

3 . Induktive Systeme schwacher Topologien

Im folgenden Abschnitt soll nun das m der Einleitung erwähnte induktive System lokalkonvexer Topologien, dessen induktiver Limes sowohl m der Kategorie der gischen Vektorraume als auch m der Kategorie der lokalkonvexen, topologischen raume die indiskrete Topologie ist, konstruiert werden.