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Meier , Zerlegungsahnlichkeit von Polyedern

existieren Zerlegungen von A und В so, daß die Aussage richtig bleibt, wenn die latationskoeffizienten X^ nur aus der Menge {f*, д € Z} gewählt werden dürfen. Wir sagen dafür kurz :

Zwei beliebige eigentliche Polyeder А und В des E^ sind ^-zerlegungsähnlich.

Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Eingangs werden die grundlegenden Begriffe und einfachsten Eigenschaften der I-Zerlegungsähnlichkeit festgehalten (§2). Danach wird unter Zuhilfenahme der Theorie der translativen Zerlegungsgleichheit (vgl. [3], Kapitel 1 und 2) das angekündigte Resultat für den Spezialfall endlicher Parallelotopsum- men bewiesen (§ 3). Daraus läßt sich auf bequeme Weise eine Gruppe von ,, sätzen*' (§ 4) folgern, deren Inhalt man dahin zusammenfassen kann, daß die Begriffe ,,ergänzungsgleich" und ,,zerlegungsgleich" auch bezüglich unserer I-Zerlegungsähnlich- keit äquivalent sind. Für gewöhnliche und translative Zerlegungsgleichheit ist dasselbe Resultat bekanntlich von J. P. Sydler [6] und H. Hadwiger [2] bewiesen worden. schließend beginnt unsere zentrale Hilfskonstruktion (§5): Wir führen im E* /c + 1 gestufte Klassen von sog. f-Zylindern ein, die im wesentlichen mit Potenzen von | zerrte Zylinder sind, und beweisen eine benachbarte Klassen verbindende allgemeine Zerlegungsrelation. Das Zusammenwirken dieser Relation mit den Subtraktionssätzen gestattet dann einen Induktionsbeweis nach den f-Zylinderklassen, mit welchem der Hauptsatz bewiesen und zugleich auf neue, unabhängige Weise der eingangs genannte Satz von H. E. Debrunner bestätigt und verschärft wird.

2 . Allgemeine Definitionen und Beziehungen

E^ bezeichne den /c-dimensionalen euklidischen Raum; Л, J5, A^, 5^, . . . seien eigentliche Polyeder des E^.

Definition 1. Ein eigentliches Polyeder A des E^ heißt (im Sinne der geometrie) in die Teilpolyeder Л^ (i = 1, . . ., in) zerlegt, wenn gilt

( * ) Л9 r^ ^0 ^ 0 (i Ф J, AI offener Kern von Л^, Ù A^ = А,

г=1

Man schreibt dafür А == A^-\- ^ - - -^ А^^уяо + die assoziative und kommutative elementargeometrische Summenbildung bezeichnet, welche unter den Nebenbedingungen (:ф:) definiert ist.

Sei G eine Gruppe von affinen Abbildungen f:E^->E'^ des euklidischen Raumes auf sich.

Definition 2. Zwei Polyeder A und В heißen G-zerlegungsçerwandt, wenn je eine Zerlegung von A und В in Teilpolyeder ^j, . . ., ^„ bzw. Ä^, . . ., Б„ existiert, derart daß es für jedes i ein /^ € G gibt mit fi{A^) = B^.

Formelmäßig :

A^ B[><]A=A^+'+A,,B = B,+ ' + B,;

Б , = f,(^,),/;.€G(i=l,...,;i).