200 Meier, Zerlegungsähnlichkeit von Polyedern

2 . Nachweis des Additionstheorems:

Wegen ТГ' с Г^ Tl < T^^^, und daraus Г^ ^ T^Ln+i g^t

Zi ( f , 71) = Х<Г: (г^ = 1, . . ., /c - AI + 1)> ^ if <r,- (r = 0, 1, . . , Ä: — ai)> = Z^d, ^)

Z , ( | , AI) = KiT^ (V = 1, . . ., Ä- AI + 1)> > iir<rri (^ _ 0, . . , A —Г£ + 1)>

= Z(f,Aг —1).

Daher folgt die Behauptung, wenn wir beweisen, daß a) jeder Punkt des polyeders Zi(f, n) — Z^{^, n) in Z(f, n — 1) enthalten ist und b) Zgd, n) ^ Z(f, n — 1) uneigentlich ist.

a ) Wegen Г" = К{1^ (// = 0, . . ., n)} = К{Т'^-\ t^ = 0> besitzt jedes t* è T"" eine eindeutige Darstellung als t* = oct mit t^ j«-i^ 0 ^ a ^ 1. Mit s ^ S^~^ besitzt daher jeder Punkt p € Z^d, n) bzw. Zgd, w) eine eindeutige Darstellung als

P = s + gi{s)t* = s + ocg^(s)t bzw. p = s + g2{s)t* = s + (xg2{s)t,

eindeutig , weil s und ^* in komplementären Unterräumen liegen. Für p = s + ßt mit festem s^S^''^ und t € Г" gilt also

p€Zi ( i , A^ ) [><]0^/S^^,(^);/^^z,(s,n)^<\o^ß^g,{s)

und daraus

( * ) P ^ Z,(S, n) — Z^Cf, Аг) 0< ^2(5) £ß^ g,(s).

Dabei wurde g^(s) ^ g.^is) verwendet und berücksichtigt, daß wegen der Definition der polyedrischen Zerlegung der Randpunkt s + ^2(^)^ ^^r ß = g^is) beiden Polyedern gehört.

In (>|<) erlaubt ß eine eindeutige Darstellung als konvexe Linearkombination von g^(s) und ^2(^), nämlich ß = (i—y)gi(s) + yg^is) (0 ^ y ^ 1). Also ist

p = (i—y)(s + g,( s)t) + y(s + g2(s)t)

k—n

konvexe Linearkombination von p^ = s + gi{s)t und p^ = s + g2(s)t. Mit s = JJ a^s^ und den Definitionen von g^{s) und ^2{^) finden wir "^^

Pi = '^^(уЛ^г + ГО + ^оК + l''"^'0 und P2 = 5%Л^. + ГО.

D . h. /?i und P2 sind konvexe Linearkombinationen von Punkten aus

T^ - ^ (г, = 1, . . . Д _ /г 4- 1) bzw. ГГ' {v = 0,i,.,.,k — AI). Also ist p konvexe Linearkombination von Punkten aus T^~'^ (v = 0,1,..., к — n + 1), d. h.

/ ? €Z ( f , Al— 1).

b ) Zur Uneigentlichkeit des Durchschnitts von ZgCI, n) und Z{^^n — 1) bemerken wir, daß Z^i^^n) und Z(^^n — 1) ganz auf verschiedenen Seiten der Hyperebene E liegen, in der das (k — l)-dimensionale Polyeder K(^T^~^ (v = 0, . . ., /c — гф liegt, und daher nur Punkte in E gemeinsam haben können. Q. e. d.