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Maurer , Eine Kennzeichnung halbovoidaler Laguerre-Geometrien

§ 1. Laguerre-geometrische Grundbegrifle und deren Deutung in halboYoidalen Laguerre-Geometrien

Grundannahme : Sei ^ eine nicht leere Menge und S Ф 0 eine Menge von nicht leeren Teilmengen von Щ,

Die Elemente von ^ nennen wir absolute Punkte^ die von Q Zykel. Eine Teilmenge von $ heißt konzyklisch^ wenn sie in einem Zykel liegt. Zwei absolute Punkte A^ В ^ '^ heißen parallel (A \\ ß), wenn sie gleich sind oder wenn sie in keinem gemeinsamen Zykel liegen. Die 2-stellige Relation || auf Щ ist symmetrisch und reflexiv. Ist T <=z^) ^, so sei Г : = {Л € $ I 3 5 € Г mit Л II m. Ist Г konzykhsch, so sei Th: = П z. Hier ist h ein

Hüllenoperator auf der Menge der konzyklischen Teilmengen von ^. Die bezüglich k abgeschlossenen Teilmengen von ^ heißen Fährten^ e^ bezeichne die Menge aller Fährten. Mit ,^ : = {F \ F ^ ^} bilden wir die Menge Ä : = ^ w J^ der (laguerre-geometrischen) Unterräume von {Щ, 3? ^)-

Was bedeuten diese laguerre-geometrischen Grundbegriffe in einer halbovoidalen Laguerre-Geometrie ? Es sei nun ($, 3? ^) ^^^^ halbovoidale Laguerre-Geometrie, finiert — wie in der Einleitung beschrieben — über den Gebilden SR, S, A, ^. In ihr sind die Punkte A, В ^Щ genau dann parallel, wenn sie mit dem Punkt S in einer Geraden liegen. Insbesondere ist || eine Äquivalenzrelation und es gilt

A 1. Jeder Zykel z enthält zu einem nicht auf z liegenden absoluten Punkt genau einen dazu parallelen Punkt.

Nach [5], Lemma 3. 3. 2 ist eine konzyklische Teilmenge T von % genau dann eine Fährte, wenn T die Menge aller absoluten Punkte in dem von T aufgespannten raum < ту von Ш ist. Hieraus und aus der Definition von ^ folgt, daß eine nicht in einem Zykel gelegene Teilmenge T von % genau dann zu ^ gehört, wenn T = ^ ^ < Г> ist. Eine Teilmenge T von ^ ist daher genau dann ein laguerre-geometrischer Unterraum, wenn T = $ ^ <r> gilt. Das zitierte Lemma 3. 3. 2 liefert

А 2. Sind Л, ß, C, i) € ^, Л i- 5, C + 2) Mnrf ^, J? € {C, D]h, so ist C,D^ [A, B}h.

Die Projektion mit dem Zentrum S von h auf eine nicht durch S gehende ebene h' von SR ist eine Kollineation von h auf A', die das Halbovoid ф in A auf das Halb- ovoid ^ nsh' abbildet. Jeder Zykel z ist daher ein Halbovoid in der von ihm aufgespannten Hyperebene <z> von SR, und in der Definition der Punktmenge ^ kann § durch jeden anderen Zykel ersetzt werden. Da für alle Г € £ die Gleichung T = ^ r^ < Г) gilt, ist die auf t erklärte Abbildung <p: T y^ <(!} injektiv. Wir bestimmen das Bild tç) : Für Г c: ^ und I Г I ^ 1^) ist Г = (Г) und daher sowohl Г Ç Й^ als auch Г € tç). Zu einem raum U von SR mit S iU und 2 ^ | U /^ ^ j existiert eine Hyperebene h' von SR mit S ih' und U^h'.^ r^h' ist ein Halbovoid von h'. Nach [5], 2. 1. 7 wird U von der menge и r\ (h' r\ Щ) = и r>. Щ aufgespannt. Also ist U € Ä9?. Für einen durch S gehenden Unterraum SS von SR, der zwei nicht parallele absolute Punkte enthält oder die Form P + S (P€SR) hat, ist U: = Ж r^ A ein Unterraum von SR mit | U ^ ^ | >2 und SiU oder es besteht U aus einem einzigen absoluten Punkt. Nach dem oben Bewiesenen wird U von U r> ^ aufgespannt. Mit SS = <U w {S}} folgt hieraus SS = <SS ^ ^> € ^(p. sammenfassend notieren wir das Ergebnis:

^çr ? = {0} w {U I U Unterraum von SR, der zwei nicht parallele Pukte enthält} w {P + 51 i>€ ^} w {{/>} I P€ ^}.

• ) Tc: 5p bedeutet: T ist (nicht notwendig echte) Teilmenge von Щ. '^) \ M\ bezeichne die Mächtigkeit einer Menge M.