Richter , Primfaktorzerlegung der Werte der Kreisteilungspolynome. II 83

Beweis . Folgt wie Satz 2 in [4] aus Satz 1 hier aus Satz 5. Lemma 7. Seien x.yd 1\{0}, {x,y) = i, x Ф ±y, n^ N. Für v : = v^ix'^ — y"")

I /pW ___ уП I

ist n die Ordnung von x und у mod------^r^— außer für

n = 2,x + y = e2\ s € и (Ж), т € Nq. Hier ist die Ordnung gleich 1.

. # * »

Beweis . Sei d die Ordnung. Dann ist d | д und x^ — y^ = g —^^ ^ mit ^ € Z. hauptet wird d = n oder der Sonderfall tritt ein.

Es ist^^=|(x^2/^^-l) = |^ = г2^ mit e € t/{Z), t€No, t ^ r.

a ) T = 0. Wegen д; ф ± i/, ф 0 folgt nach Satz 2 entweder-r = 1 oder-^ = 2 und

x^ -\- y^ = e. Im ersten Fall sind wir fertig. Im zweiten muß aus Größengründen d gerade sein. Dann ist aber x -{- у ein Teiler von x^ + y^^ und aus

" tl^ ! = Hx, -y,d~i)=s'(: Uß)

X -f У

folgt wieder mit Satz 2, da d ungerade, daß rf = 1, also n = 2^ x -\~ у = e.

b ) r > 0. Da :r Ф ± 2/, Ф 0, folgt nach Satz 3, daß ^ = 2, x"^ + y^ =^ e2\ Ist d

gerade , so haben wir wegen r > 0 und (x, ?/) = 1, daß x = у ^ i mod 2. Daraus folgt x*^ = 2/^ = 1 mod 4, also т = 1. Aus Größengründen ergibt sich ein Widerspruch.

Sei d ungerade. Dann hi x -]- у ein Teiler von x^ + ?/^. Sei x + y = e'2^ e' € [/(Z), ç ê Nq, ^ ^ r.

^^ Ф 1/^ £ _

Aus - - - - - ^—^— = ^[x, — 2/, d — 1) = —j- 2"" ^ ergibt sich r = ^, da d ungerade. Mit

X -\- y e

Satz 2 folgt d = 1, £ = e'.

Theorem . 6'eieAi a:, г/ €Z\{0}, (x, y) = i, x 4= ±y, ni¥i. Für р^П mit

v , : = v^(x^-yn >0

ist Vp ^ /^p(^, 2/)j ^^^ ^^ ^^^^

n = KGV /KGV (d Л, Л p^p-V pem рещ

\vp>0 Vp>0

außer für n = 2, X + y = e2\ e e Uß), r ê N«. Ist X = y ^ i mod 2, 50 i^^

^2 ( ^' - Л = '

, ^ ( i^ ( ^ ! ^ ) ^^0mod2 v^^ — y) n = lmod2.

Beweis . Folgt wie das Theorem in [4] aus Lemma 6, Satz 2 und Lemma 4 hier aus Lemma 7, Satz 6 und Lemma 2.

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