154 Ruscheweyh, Geometrische Eigenschaften einer Differentialgleichung

1 KoroUar 5. 2. Sei w = F^g in K^^ schlichtartig. Dann gilt — F^(zg') ф 0 in Kj^^.

Beweis , Dieses folgt aus Satz 5. 2 (ii) und der Relation (siehe (2. 10)) (5. 7) niz, R)=^-l^fAz, R) = ^-^Ks=^FJ.g')

für z = jRe*^ Aus Satz 5. 2 (i) kann man leicht ^'(0) ^ hm —i^„(;3^') Ф 0 entnehmen.

Definition 5. 2. Eine Funktion w = F^g heißt konnex in K^^^, 0 < /?o ^ 1, wenn sie dort schlichtartig ist, und wenn auf allen Kreisen z — Де'^, 0 < R < Rq,

( 5 . 8 ) -Aarg-^î^>0

д ( р д(р -~~

ist .

Satz 5. 3. Eine in K^^, 0 < Д^ ^ 1, kom^exe Funktion w = F^g ist dort schlicht. Beweis, Auf \z\ =^ R < Rq gilt

( 5 . 9 ) 0<-|-arg-^i.;^RezÇ/^+l.

- д(р ^ дер fg(Z, R)

Wegen Satz 5. 2 (ii) und dem Maximumprinzip für harmonische Funktionen kann man schließen, daß fg(z, R) konvex in K^ ist. Seien nun y^ die Bildkurven von | z | = Rj, j = 1, 2, mit 0 < /?i < Дз < ^^0- Mit (5. 5) folgt nun

Da aber /"^(K^^, R^) offen ist, folgt y^^ ^Уд, = 0? woraus sich die Behauptung ergibt.

Wie in der klassischen Funktionentheorie kann man notwendige und hinreichende Bedingungen für die Konvexität angeben:

Satz 5, 4. Dafür, daß eine Funktion w = F^g in K^^ konnex ist, ist notwendig und hinreichend, daß in K^^

( i ) т^п(2Л Ф0,

z

ist .

Beweis , Die Notwendigkeit dieser Bedingungen ergibt sich sofort aus Korollar 5. 2 und der Beziehung

( 5 . 10 ) j-arg j-t/; = Re ^^^f ^!? + 1,

d ( p ^ d(p Fn{4)

die aus (2. 10) abgeleitet werden kann. Mit (i) und (5. 7) kann man unter Verwendung des Argumentprinzips zeigen, daß fg(z,R) Ф 0 in K^г ist {R <-ßo)- Zusammen mit (5. 9) ergibt sich jetzt wie im Beweis zu Satz 5. 3, daß fg{z, R) den Kreis K^ konvex bildet. Aus dem Prinzip der Ränderzuordnung und wegen fg(z, Д) Ф 0 auf \z\ = R kann man schließen, daß w in K^^ schlichtartig ist. Analog zu Satz 5. 2 gilt

Satz 5. 5. Wenn w = F^g in EK konnex ist, so ist g(z) in EK konvex. In Erweiterung der Sätze 5. 2 und 5. 5 vermuten wir, daß folgendes gilt: