Quadratische und kubische Restkriterien für das Auftreten einer Fibonacci-Primitivwurzel

Von Alexander Aigner in Graz Herrn Professor Dr. Helmut Hasse zum //• Geburtstag

Unter einer Fibonacci-Primitivwurzel mod p (Primzahl) wird eine solche wurzel g verstanden, welche der Kongruenz g^ = g -\- i und damit auch allgemein g%+i ^ gi _^ gi-i (jnQ(jp) genügt, wie es der Fibonaccischen Zahlenfolge entspricht. Aus dieser Kongruenz ergibt sich

g^ { i ±УЬ)12 (modp),

woraus zunächst folgt, daß eine solche Wurzel nur für Primzahlen existieren kann, nach welchen 5 quadratischer Rest ist, also für p = ±1(5); ein Sonderfall ist noch p = 5, ^ = 3. Andere Tatsachen, wie daß die Anzahl der Fibonaccischen Primitivwurzeln im Falle p = in + i > Ъ immer 0 oder 2, im Falle p ~ in + 3 aber 0 oder 1 beträgt, hat kürzlich Shanks [3] klargestellt. Es kommt darauf an, daß wenigstens einer der Werte von (1 db V^5 )/2 kein eigentlicher Potenzrest ist.

Nun ist e = (i +yb )/2 die Grundeinheit im Zahlkörper Q(|/5 ) und ihre konjugierte ist — 1/e. Deshalb sind stets beide Werte A-te Potenzreste für ein ungerades к und bei p = in + i auch zugleich quadratische Reste, während sie bei j9 = 4^1 + 3 denen quadratischen Charakter haben. Hier seien nun Kriterien für den quadratischen und den kubischen Charakter der Zahl в angeführt, welche dann gewisse Rückschlüsse auf das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein einer Fibonacci-Primitivwurzel zulassen.

Der quadratische Charakter von e ergibt sich leicht aus bekannten Kriterien für den biquadratischen Charakter der Zahl 5, etwa in Hasse [1], und wurde von E. Lehmer [2] unter etwas anderen Gesichtspunkten behandelt. Nachdem die Relativdiskriminante des Körpers der 5. Einheitswurzel über Q()/5) durch —e |/5 gegeben ist, gilt für

p==in + i die Beziehung f—J = |—J •(^J , das heißt, e ist quadratischer Rest für

p = 1(20) und p = x^ + iOOy^ oder p = 9(20) und p = x^ -\- 2Ъи^ mit ungeradem u, und 8 ist nicht quadratischer Rest bei den umgekehrten Kombinationen. Eine Fibonacci- Primitivwurzel kann es natürlich nur im letzten Falle geben. So existiert sicher keine bei 29 = 4 + 25 oder 101 = 1 + 100, wohl aber eine bei 61 = 36 + 25 mit ^ = 18 oder g = 44.

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