Spengler und Wolff, Lange егпег зутркМгчскеп АЪЬгЫипд 155

Denn jede Teilraumspiegelung сту laßt sich als em Produkt von Ebenenspiegelun- gen darstellen, und jede Ebenenspiegelung als Produkt von 3 Transvektionen, und die so entstehenden Darstellungen von a^, werden wir mit Hilfe von Ь{а^г) ^ 3 bis zur Unverkurzbarkeit zusammenschieben

Die beiden folgenden Hilfssatze werden zum Beweis von L{aßr) ^ 3 benutzt.

Hilfssatz 1. Е{а^Гс(,) ^ 3 gilt jedenfalls dann, wenn es ein B^E mit С — B^R gibt.

Beweis , Wegen С $ Д ist 5 Ф 0 (aus E) Daher gibt es ein А € £ mit {AB) = 1. Wegen С — В d R ist nach 2.1 daher (Te =- Ч,а+{с-в)Ч,а+в-^{с-в)Ч,в+{с-в)1 also

wenn 2 + с 4= 0 ist Andernfalls steht am Ende die Identität

Hilfssatz 2. Ist dim Bahn 9? ^ 3, Bahn 99 r^ R = 0^ und gibt es Xj, X2 mit (Xi99, Xi) Ф 0 und (X^cpr^, X2) Ф 0 fur x^ = T^-ix.ç x,) \x,<p-x,^ ^0 ^^i L((p) ^ 3.

Nach dem Lemma über Bahn-Verkleinerung existieren dann namlich die Trans- vektionen r^ und r^- == r__^^^^^^^) sx.^r,-x., und es gilt

Bahn ( 9 ? riT2 ) < Bahn(9Ti) < Bahn9;?,

also dim Bahn (99T1T2) ^ 1 und Bahn(99TiT2) rs R = 0,

Daher ist 9?TiT2 eine Transvektion oder die Identität.

3 . 2. Fur jede reguläre Ebene E und jede Transvektion x ist L{a^x) ^ 3.

Beweis , Sei x = x^q. Gibt es ein В d E mit С — В (: R, so folgt mit Hilfssatz 1 die Behauptung. Andernfalls ist C^E und (E + <C>) ^ R = 0 Wegen F = £ + gibt es J. € E, Ci 6 E^ und ОС d К mit С = ocA + C^, А Ф 0, oc^ {0, 1} Wegen ocA^E ist C^ = C — ocAiR, und wegen V =-- E + E^ gibt es daher ein D ^ E^ mit (C^D) = 1. Zu A^E gibt es em В ^ E mit (AB) =^ i (Dann sind E = (A, B}, (C^, D> zueinander senkrechte reguläre Ebenen.)

Wegen Bahn(or^T) g Bahna^ + Bahnr = E + <C> ist

dim Bahn (or^r) ^ 3 und ВаЬп((Г^т) r^ Д = 0

Ist nun л: — 1, so folgt die Behauptung aus Hilfssatz 2 mit X^ =z B, X^^ A, Ist а = 0 (d. h. Bahnr _L £), so folgt die Behauptung aus Hilfssatz 2 mit X^= В -\- D, X^^ A, — Wegen {ое'сУ ' — t(t^ und 1/(9?^) = L{(p) gilt also insgesamt

L^üet ) = L(t(t^) ^ L((T^) = dimE + 1.

Diese Formelzeile wird jetzt durch Induktion auf beliebige reguläre Teilraume T verallgemeinert.

3 . 3. Fur jeden regulären Teilraum Г Ф 0 und jede Transvektion x gilt:

L { arpx ) = L{xarp) ^ L{arj) = dim Г + 1.

Beweis fur L{arj), L{xarp) ^ dim Г + 1. Sei dim Г = 2/c ^ 4, und sei

Г = £1® •••©£, und 5 = JSi®-•©£:,_!.

Nach Induktionsvoraussetzung gilt L{ag), L{xag) ^ dimÄ + 1 = 2A: — 1, und wegen der ,,Auffullbarkeit" gibt es daher r^, . . ., г^__^ mit o*^ = т^ • т^^к-г ^^^ '^i? • • •? '^k-i mit ras = r[ • • -Тзд,.!.

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