Schmahhng , Kennzeichnung der Determinante auf projeMiven Moduln

Notwendig und hinreichend dafür, daß ein Polynomgesetz fÇ = {Fg)^^^^ Ç.^{M, N) eme Form vom Grad n ist, ist die folgende Bedingung fur die Koeffizienten m (2) (mit S = R):

( 4 ) ni?g- '''r)(x„ ...,x,)+O^J:v, = n.

7 = 1

Der Zusammenhang mit dem in [3] eingeführten Formbegriff ergibt sich an dieser Stelle folgendermaßen Ist (F, cp) eine Form n-ien Grades auf M mit Werten m N im dortigen Sinn, so erhalt man durch die Fortsetzung (F^, 99^) von (F, 99) auf M ^j^S fur alle S ^Шл (im Smn von [3]) eine Familie (i^^bç^^^ von Abbildungen, die em homogenes

Polynomgesetz vom Grad n ist. Die reduzierten Funktionen теаФ^"^' '^^^ mit 2Jv^=rn

1 sind genau die multihomogenen Abbildungen 11 jP^^ '"r^ (vgl. (2) und Roby [7]). Die

Fortsetzung (Fg, 9?^) von (jP, cp) auf M ®j^S nach [3] entspricht genau der hier definierten Fortsetzung %g des zugehörigen Polynomgesetzes ^.

Sind M ~ A und N = В iî-Algebren mit Einselementen 1^ bzw. 1^, so definieren wir:

Definition 2. 3. Em Polynomgesetz % = (Fg)^^^^^ ^^(A^ B) heißt multiplikatw, wenn fur alle 5 6 Ä^ und alle ä, a' ^A0j^S die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind

( 11 ) Fs(a'ä') = Fg(ä)'Fs(ä%

Ist ^ speziell em homogenes Polynomgesetz vom Grad n auf A mit Werten in В und gleichzeitig eine Form (F, 99) im Smn von Bergmann [3], so stimmt die hier gegebene Definition der Multiplikativitat mit der dortigen Definition (vgl [3], S. 139) uberein. Insbesondere zeigen die IIF^^^' '"r^ixj^, , . ,^ x^) dann das gleiche Multiplikationsver- halten wie die reduzierten Funktionen ([3], S. 139), wie man sich leicht überlegt, wenn man die Bedingungen (1) und (11) der Definition fur 5 = i?[^i, . . ., t^] auswertet.

{ Fg ) g^qj^ sei eine multiplikative Form vom Grad n auf der ü-Algebra A mit Werten im Grundring R, Dann wird durch

( 5 ) ß^^^-(A®j^S)x(A(S)RS)->S mit iS|f>(ä,6):=nF^i'^-i>(äe,l) (a,b^A®^S)

eine symmetrische Bilinearform auf A ®j^S definiert. Die Bilinearform ßi^^ = ßr^ auf A heißt die zur Form g 6^(A, R) gehörige Spurbilmearform, Diese Bilinearform wird bei unseren Betrachtungen über Determinanten eine wichtige Rolle spielen. Deshalb einige Bemerkungen über symmetrische Bilmearformen :

Eine symmetrische Bilinearform ß auf einem J?-Modul M heißt nicht-ausgeartet, wenn die Abbildung q: M-^ Homj^(ilf, R) mit Q{a)(x) = jS(a, x) (a, x^ M) mjektiv ist; ß heißt nicht-smgular, wenn q ein Isomorphismus von iî-Moduln ist.

Fur S ^^л wird durch ßg{a 0 s^b ®t) = ß{a^b) ® st und bilineare Fortsetzung eine Bilinearform/8^ auf M 0^^ definiert. Ist ß mcht-ausgeartet, so ist ßg nicht notwendig wieder mcht-ausgeartet. Ist dagegen M em endlich-erzeugter, projektiver Я-Modul und ist ß nicht-singular, so ist ßg mcht-singular fur alle S ^ Ш^^ In diesem Zusammenhang werden wir das folgende Lemma benotigen:

Lemma 2. 4. M sei em endlich-erzeugter, projektier R-Modul, Eine symmetrische Bilinearform ß auf M ist dann und nur dann mcht-smgular, wenn die Fortsetzung ^^^ çon ß auf M ®лВ1ш fur alle maximalen Ideale ХП"^ R mcht-ausgeartet ist.

Zum Beweis vergleiche man etwa [8].