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Schmàhling , Kennzeichnung der Determinante auf projektiven Moduln

Ist % € ^(M, N) eine Quasiform und ist / = {ej {i ^i ^t) ein für fÇ zulässiges System von Idempotenten in iî, so ist g^*^ nach Definition eine Form auf M^ mit Werten in iV^ (1 ^ i ^ t). Diese homogenen Polynomgesetze können speziell konstante gesetze (homogen vom Grad 0) oder die Nullform (homogen von jedem Grad) sein. zeichnen wir mit pr^ß^ : M ®j^S-^ M^®j^S die kanonische Projektion, so erhalten wir für jedes i — 1, . . ., ^ ein homogenes Polynomgesetz %^^^ = {P^^s)s^Ur ^ ^(M, M^ vom Grad 1. Für eine Quasiform g i^{M^ N) ergibt sich damit im Anschluß an Roby [7], S. 224 die Darstellung

( 6 ) g = e W^ [wir schreiben auch ^ = 0 %^A

von g als direkte Summe von Formen g^> : = %o&^ о ^(*> € ^(if, iVJ. Insbesondere ist für 2 6 M 0jiS

( 6a ) Fs(z) = e Ff(z) = e F^^zeJ == ф F,(z)e,,

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wobei wir iï^g> = F^ о cg> und Ff = Ffoprf gesetzt haben. Wir beachten, daß (6) und (6 a) von dem ausgewählten zulassigen System von Idempotenten abhangen. Fur jedes feste zulässige System von Idempotenten ist die Zerlegung (6) bzw. (6a) jedoch eindeutig. So erhält man z. B. für eine Form % ^ ^[M^ N) vom Grad n und jedes liche vollständige System von Idempotenten e^ ф 0 im Grundring R [i ^i ^t) eine eindeutige Zerlegung

( 7 ) 5 = 0 Ъ^'^

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von % in Formen Ç^*^ € ^(M^, N^ {i ^i ^t) gleichen Grades (dabei beachten wir, daß die Nullform als Form von beliebigem Grad aufgefaßt werden kann). Sind M =^ A und N = В i?-Algebren und ist ^ €^(^4, B) eine multiplikative Form vom Grad Аг, so ist keine der Formen g^*^ die Nullform, wenn В eine treue Л-Algebra (speziell В ~ R) ist, denn dann muß stets gelten: F^]^{i^e^) = Fji^{ij^e^) = F^{i^)e^ = i^e^ = e^. Speziell hat man folgendes Ergebnis:

Proposition 3.1. Es sei A eine R-Algebra mit der Eigenschaft^ daß der Annullator Аппд^ ein nicht-trinales Idempotent enthält^). Dann sind die einzigen multiplikativen^ homogenen Polynomgesetze auf А mit Werten in R oder einer treuen R-Algebra В die stanten Polynomgesetze 1.

Beweis , % Ç. ^{A, B) sei homogen und multiplikativ, во^Апп^А sei ein triviales Idempotent. Dann ist Ед^^(1^ео) = e^ wegen der Multiplikativitat und damit ^ßeo ^^^ AeQ = {0} konstant gleich e^. Wegen der Homogenität von g ist dann Я**ео= e^ für alle K^ R {n = Grad g). Setzt man Я = 1 — ^o, so folgt e^ = 0 im Fall n^i. Also ist /г = 0 und damit wegen der Multiplikativitat von ^Ç: Ç = 1.

Hiltssatz 3. 2. Eine Quasiform % €^(Л, В) auf einer R-Algebra А mit Werten in einer R-Algebra В ist genau dann multiplikativ^ wenn für jedes für ^ zulässige System {^è (1 = ^ ^ 0 ^^^ orthogonalen Idempotenten die Formen %^^^ €^(Л^, ßj multiplikativ sind.

Beweis , Die eine Richtung gilt nach Definition 2. 3, die andere Richtung folgt sofort aus (6 a), wenn man beachtet, daß {ej ein System von paarweise orthogonalen Idempotenten im Grundring R ist.

1 ) Das ist z. B. der Fall, wenn А als Ä-Modul endlich-erzeugt, projektiv und nicht treu ist.