Schmähling^ Kennzeichnung der Determinante auf projektiven Moduln 63

Determinante übereinstimmt. Wir geben die Definition und einige Eigenschaften der Goldmanschen Determinante kurz an:

Als endHch-erzeugter, projektiver Й-Modul ist M direkter Summand eines endlich- dimensionalen, freien Д-Moduls F=M^N und damit ist oc ^idj^ ^End^F für ОС € Endj^M, In Goldman [6], Proposition 1. 2 wird gezeigt, daß detp{oc ф id^^) nur von M und a abhängt. Also kann man definieren:

( 9 ) det^(a) : = detp{oc e idj^).

Die folgenden Eigenschaften (10)^—(12) sind direkte Folgerungen aus dieser Definition (vgl. [6], Prop. 1.3 und 1.4):

( 10 ) deij^ {oc- ß) = deÎM {ос) • det^ (ß) für a, ß (: End^ M,

( 11 ) det^(id^) = 1^.

Ist 6" € йд und fiR^S der zugehörige iî-Algebren-Homomorphismus, so ist M ®rS ein endlich-erzeugter, projektiver iS-Modul und es gilt: Endj^ilf ®^6'^ End^(ilf ®^i5). Mit oc^Endj^M ist also a ® id^ € End^(M ®^5). Dann gilt:

( 12 ) aeij^^^si^^ ® id^) = Adet^a).

Wir bezeichnen mit rpjj^g den kanonischen Isomorphismus

yß^gi Endj^M ®RS-^Endg(M ®rS).

Als nächstes soll gezeigt werden, daß Ф = (det3^0^^ о y)M,s)seuR ^^^ multiplikatives Polynomgesetz aus ^(End^Af, R) ist. Dazu ist die Kommutativität des folgenden gramms nachzuweisen (die Multiplikativität folgt dann aus (10) und (11)):

EndRM ®rS -----!^!^__^ End^(M 0^5) ''''^®^^ > S

id® ? )

EndRM (S)rS' —!^!^:__^ End^,(ilf 0rS') ''"'''®R^' > s\

Dabei sind 5, 5" € £д, tp: S -> S' ein Algebrenhomomorphismus.

Ist M direkter Summand des freien Ü-Moduls F, so ist für

äe EndsiM ®rS)

nach Definition deij^^ g(ôc) gleich det^,0 o(r^(a)) mit т^(л) =a0idjy^0^^. Also können wir das Diagramm auch folgendermaßen schreiben:

- 1

EndRM 0rS ^'^^^^Ends(M0RS) -^Ends{F®RS) ^!^^^ EndRF(S)rS ^!^I®rL^ S

id® ? ) I idj.®?) II ç

End^j Jlf ®д5'^^^^^ End^,(Ж ®^j50-^ End^,(F®^j50 ^^^^ End^F ®д5^

Das Diagramm II ist kommutativ, da die Determinante auf einem endlich-dimensionalen, freien Ä-Modul F eine Form auf End^F mit Werten in R ist, deren Grad die Д-Dimen- sion von F ist (vgl. Bergmann [2]). Man kann das auch direkt nachrechnen, da der Endo- morphismenring eines w-dimensionalen freien Ü-Moduls isomorph zum 7i-reihigen trizenring über R ist. Für ein Element

2JoCi ® 5^ € End^M ® 5 (a^ € End^ilf, s^ Ç S)