Bemerkungen zur Approximation stetiger Funktionen in einer p-adischen Variablen. I

Von Helmut Müller in Berlin

In der reellen Analysis wird bewiesen, daß sich jede in einem reellen kompakten Intervall stetige reellwertige Funktion beliebig genau durch Polynome mit reellen effizienten gleichmäßig approximieren läßt (Satz von Weierstraß). Ersetzt man hier reell durch /?-adisch und kompaktes Intervall durch kompakte Menge, so bleibt, wie J. Dieu- donné und K. Mahler gezeigt haben, dieser Satz richtig.

Da die Koeffizienten der approximierenden Polynome stets aus einer dichten menge von E bzw. (Qp gewählt werden können, kommt man in beiden Fällen mit nomen aus (Q[x] aus. Werden dagegen zur Approximation nur Polynome mit ganzen Koeffizienten zugelassen, so wird man erwarten, daß nicht jede stetige Funktion beliebig genau angenähert werden kann. In der Tat ergeben sich für diese Approximation in R relativ komplizierte Bedingungen, wie sie z. B. von E. Hewitt und H. S. Zuckermann in [3] gefunden wurden.

Für Q^ wird in dieser Arbeit ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Approximierbarkeit einer stetigen Funktion durch Polynome aus 2[ж] angegeben (Satz 3).

Im folgenden ist p eine feste Primzahl, Q^ der Körper der j9-adischen Zahlen.

1

I • \p der in Q^ durch \p\p=' — normierte j9-adische Betrag, 1^ = {x \ x^^^^, \ x\p^ 1}

der Ring der ganzen /?-adischen, Ж der Ring der ganzen rationalen und N die Menge der natürlichen Zahlen. Da als Definitionsbereich stets Z^ gewählt wird und sich sichtlich nur solche Funktionen f durch Polynome aus Z[x] approximieren lassen, wenn I fi^) Ip ^ 1 für alle X (iZj^ gilt, werden nur stetige Funktionen f mit f : Z^ -^ Z^ tet.

Es gilt nach J. Dieudonné [2]:

Satz 1. Zu jeder stetigen Funktion f mit /':Z^->Z^ und jedem e > 0 gibt es ein Polynom p(x) € (}p[x], so daß für alle o? €Z^ gilt

\f ( x ) —p { x ) \p <e.

Unabhängig von J. Dieudonné erzielte K. Mahler in [4] dieses Resultat, indem er für jedes stetige f eine Folge von Polynomen angeben konnte, die in Z^ gleichmäßig gegen f konvergieren. Genauer gesagt bewies K. Mahler folgenden Satz, der sich mit Hilfe von Satz 1 leicht nachweisen läßt :

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