168 Müller, Approximation stetiger p-adischer Funktionen, I

Satz 2. Es sei f stetig mit f : Zp->Zp. Setzt man für тг = 0, 1, 2,. . .

« „ = а„(Л= i(-l)*(^)Aw-Ä;), SO gilt lim a„ = 0.

n - >oo

Beweis , Nach Satz 1 gibt es zu jedem г € N ein Polynom p(x) С Qp[x] mit (1) I f(a;) — p(x) 1^ < p-' für alle o: €Z^.

Für alle n > nQ = nQ(r) gilt nun a^ip) == 0, wie man durch Koeffizientenvergleich aus

; > ( x ) = ia„(i»(:)

unmittelbar erkennt. Zusammen mit (1) und der Definition von a„ folgt

( ^n { f ) — (^nip) \p =

^^^ (-1)M ^)[f(n -/c)-i.(n - A)]

< p" für AI = 0, 1, 2, .

Da a„(j9) = 0 für Д > j^o gilt, ergibt sich | a^{f) \p < p ^ im n > nQ, also lim a^ = 0, da г € N beliebig war. —

Wie man leicht sieht, konvergiert die Reihe ^a„(/)i j für jedes xŒ^ gegen /"(ж), wenn hm a„ = 0 gilt, so daß durch ^ '

( 2 ) fH=^ianQ, a, = a,(f)

für jede stetige Funktion f eine Reihenentwicklung nach Polynomen gegeben ist. Jedem stetigem / entspricht damit eineindeutig eine j9-adische Nullfolge {aj.

Setzt man in (2) ein a;€N ein, so bricht die Reihe ab, d. h. die rechte Seite von (2) stellt für ж € N spezielle Interpolationspolynome dar. Unter allgemeineren gen sind derartige Polynome von Y. Amice in [1] untersucht worden.

Bezüglich der Approximierbarkeit von f durch ganzzahlige Polynome gilt

Satz 3. Wird a„ für stetiges f mit fiZp-^Z^ definiert wie in Satz 2, so ist f genau dann durch Polynome aus TLlx] beliebig genau gleichmäßig approximierbar, wenn für alle п^Ш

Beweis . Nehmen wir zunächst -~Œ^ an, so folgt

n\ ^ °

'' " ( « ) == It•^^^''"^^ . . . (x_n + 1)]ÇZ,M

und aus (2), daß sich f{x) durch Polynome aus Z^M beliebig genau gleichmäßig mieren läßt. Da Z in Z^ dicht liegt, ist Satz 3 in dieser Richtung bewiesen.

Es sei nun w € N beliebig, aber fest gewählt und f durch Polynome aus Z {xl beliebig genau gleichmäßig approximierbar. Dann gibt es zu jedem г С N ein Polynom p{x) € Ъ\х] mit

I f(^) —p{^) \p < P'^ für alle ж €Zp.

Wie im Beweis von Satz 2 findet man durch Koeffizientenvergleich è^ = 0 für m > m^

und -^€Z für m = 0, 1, 2, . . ., wenn zur Abkürzung b^ = a^(p) gesetzt wird. Wegen

bn\p =

léo^ - ^^' { ^yf<<'' - ''^~p'<'' - '' ) ^\p<p~