210 Bernstein und H as se y Parameter^abhängige Scharen quadratischer Grundeinheiten

sowie zwecks Größenabschätzungen die Binomialentwicklung

( ^ ) ^-^^^-"+"••;'""'-("!')"+("2')''''-+-

heranzuziehen .

Im Hinblick auf die bekannten formalen Eigenschaften von Vorperiode und Periode der Kettenbruchentwicklungen reiner Quadratwurzeln genügt es, die Entwicklung (K) bis zur Umkehr des symmetrischen Periodenteils zu bestätigen.

1 . Schritt, Behauptung:

[ ) / ^ ] = йЛ Nach (B) ist

d > tv. Nach (F) ist daher

was die Behauptung ergibt.

Übergang zum 2. Schritt. Man hat ^ D — dt;** umzukehren. Nach (F) ist

1 _]/D+ dv""

Y'D — dv'' ~ 2d — tv

2 . Schritt, Behauptung:

[ 2d — tv] Wegen [|/D ] = dv^ läuft das hinaus auf

2 dt;"

d . h. auf

2d — tv

— 2d — tv

Die linke Ungleichung springt in die Augen, die rechte läuft weiter hinaus auf

2d>tv + tv^'^K

Wie man aus {B) abUest, ist das richtig. Übergang zum 3. Schritt, Man hat

1 / 5 " + dt ; " „^ ]/D — {d — tv)v'^

2d — tv 2d — tv

umzukehren . Auf Grund von (F) ergibt das :

2d —^t; ^ (2d—^t;)(t/^ + (d — tv)v'^) __ (2d — tv)(}/D + (d — tv)v'^)

] / ß — (d — tv)v'' "" yn — id — tv^v^'^ " (2d~tv) + (2dtv — t4^)v^^

\ / D + (d — tv)v*' ]/D + (d — tv)v''

1 _|_ tv^n+l

3 . Schritt. Behauptung:

yD + (d — tv)v'^

1 = 2d't;".