MennicJcen und Sagraloff, Untersuchungen über Semi-Fredholmpaare. I 19

Nullraum von P für jedes p ^ Г' ^-abgeschlossen. Daher gilt

womit (4. 8) bewiesen ist.

An (4. 8) knüpft der Beweis der folgenden Aussage an. (4. 9) Satz. Es sei Г ein Basissystem auf E. Für M ^УХ{Е) gilt

codim M = sup codim M .

Beweis , Ist die Kodimension von M endlich, so gibt es aufgrund des vorangehenden Satzes (4. 8) ein konfinales Teilsystem Г' <: Г mit M = M^ îiïr p (: Г\ Ist nun q ein beliebiges Element aus jT, so existiert hierzu ein /> € Г" mit p '^ q, Dsl p ^ q die Beziehung M <- M ^ also auch codim M ^ codim M impliziert, gilt folglich im hier betrachteten Fall die Behauptung.

Weiter werden wir zeigen, daß man von

—p (4. 10) sup codim M < oo

Р£Г

her auf endliche Kodimension von M schließen kann, womit dann (4. 9) vollständig bewiesen ist.

Zunächst folgern wir aus (4. 10), daß es ein p* Ç. Г gibt, so daß für jedes J? ^ -Г, ^ j?* (4. 11) codim M = codim M

—q —p

gilt . Andernfalls gäbe es nämlich zu jedem g € jT ein jo € jT, ^ g mit codim M Ф codim M ,

—P —Q —Q —P

also wegen M <. M mit codim M < codim M und infolgedessen eine Folge {pJo"

in Г mit codim Ж " < codim M '^^^ was jedoch (4. 10) widerspräche.

—p —p* Ist nun p^r, ^ p*, so liefert (4. 11) in Verbindung mit M <^ M die Gleichheit

( 4 . 12) M" = m""*.

Daher gilt mit Г' = {p ^ Г: p ^ ;?*}

( 4 . 13 ) M = n m"" = Ш"*,

per

d . h. M hat, wie wir zeigen wollten, endliche Kodimension.

Eine ähnliche Aussage wie der vorangehende Satz (4. 9) beinhaltet der

( 4 . 14) Satz. Es sei Г ein Basissystem auf E. Für MèU(E) gilt

dim M = sup dim кр(М), per

worin kp wieder den kanonischen Homomorphismus von E auf EjN^ bezeichnet.

Beweis , Wegen dim kj,{M) ^ dim M genügt es, die behauptete Gleichung unter der

zusätzlichen Voraussetzung

( 4 . 15) sup dim /Ср(М) = m < oo

per zu beweisen.

Zu jedem р^Г gibt es in E einen Unterraum K^^\ der M r^N^ algebraisch-direkt zu M ergänzt und die Dimension von kp(M) hat. Demgemäß hat man

( 4 . 16) codim^^ M rsNp = dim к^,(М) (р^Г),

d . h. die Kodimension von M r^N^ in M ist gleich der Dimension von к^{М),