Menke , Verteilung von Punktsystemen mit Extremaleigenschaften 427

gierte harmonische Funktion.) Nach dem Maximumprinzip für harmonische Funktionen gilt

( 3 . 1 ) \^G(Pk(^)\u^ für w^E,

da diese Ungleichung für w Ç: С richtig ist.

Sei Fj^{z) = (Pk{4^[z)\ dann gilt für z, z' auf dem Einheitskreis

I Rei^,(z)-Rei^,(^ | =^ \wMz))-Wk^z'))\

S . I еЧФ))-§Ч^(^')) I è^ ^ I g(^{z))-g(cp{z')) \^kL,\z-z' r^%

da I g(,?(z)) 1 ^ 1 für I z I = 1 ist. Da Re Fi^(z) stetig ist für | 2 | ^ 1, folgt nach einem Satz von Priwalow (vgl. z. B. Golusin [4], S. 364)

I F,(z) - F,(z') I ^ kL,L, Iz-z'r für I 2 I ^ 1, I z' I ^_ 1.

Mit Hilfe von Lemma В folgt hieraus

( 3 . 2) I (Pk(w) — 9?fc(^') I ^ ^^9 I ^ — '^^ Г' für w, w' € E,

Da \é — é'\^e\C — ^'\ ist, falls | Re C| ^ 1, | Re С I ^ 1 ist, folgt wegen (3. 1)

( 3 . 3) I e''^^^^ — é^k^"^'^ I ^ ekL^ \w — w' |*» für w, w' € £.

Nach einem Satz von Mergelyan [13], Kapitel 3, Theorem 2. 3 folgt:

Zu jedem e > 0 gibt es eine Konstante Ь^^{е) und ein Polynom Рщ(го) höchstens m-ten Grades, so daß gilt

( 3 . 4) 1 e^*(^) — PJw) I ^ L^,(s)ekL^m-''^+' für г^ 6 £,

wobei die Konstante L^ nicht von (pjc(w) abhängt.

m

Sei P„{w) = A„- niw — a,.). Wegen (3. 1) gilt e'^ ^ | e"*'") | ^ e. Sei nun m so groß, daß '""^

( 3 . 5) L^o-L^-e-k- m-^+' ^ (2 • e)-\

dann ist wegen (3. 4)

( 3 . 6) (2 • e)-' ^ I PJw) I ^ 2 • e.

Sei I g{a,) I = ^,. Aus (3. 6) folgt zunächst q, > 1. Sei d, == min | w — aA = | С — «И-

Wäre dj < (2e^m^)"-^, dann wäre (vgl. Kövari und Pommerenke [7]) die strecke [C, a^] ganz in E^ enthalten und mit Lemma А und (3. 6) würde folgen

( 2e ) - ^ й I Рш{С) - P^di) I ^ 1 • Зет'' • | f - аJ < (2e)-S also ein Widerspruch. Aus d^ ^ (2e^m^)~^ folgt mit Lemma В unmittelbar:

( 3 - 7 ) ö,-^l+^-

Aus (3. 4) folgt iiiv w^E und alle m, die (3. 5) erfüllen :

m

( 3 . 8 ) i Re99fc(w) —logl4^ — 2;log|w—aj

^ Ä;Li2W-"''+'