Metzler , Homotopietyp zweidimensionaler CW-Komplexe

Ist umgekehrt eine Gruppenbeschreibung der Form (32) mit den Eigenschaften (a), {ß)^ ii) gegeben^^), so bildet der zu (32) gehörige CW-Komplex ä: mit dem Teilkomplex L gemäß (31) ein Beispiel für (30), denn (a), (j?), (7) bedeuten, daß die Inklusion einen morphismus in den Fundamentalgruppen und der Homologie der universellen rungen induziert. Wir haben also ein algebraisches Äquivalent für die geometrische Formuherung des Problems gefunden.

Ist L^Kzu Gruppenbeschreibungen (31), (32) mit (a), (jß), (7) gegeben und L em weiterer zu der Beschreibung

{ a [ , ..,a;,i^;(a;, ..,a;),...,i?;(a;,...,a;)}

der gegebenen Gruppe n gehörender Komplex, so kann ein Erweiterungskomplex K' von L

mit entsprechenden Eigenschaften und x{K', L) = x{K, L) konstruiert werden, indem man

die a, durch Wörter ^^(ai,..., a^) ausdruckt, als zusätzliche Erzeugende die b^, und als

zusätzhche Relationen die 5'f(Wj, b^) nimmt.

( 33 ) Die Menge Wh*{n)<^ Wh{n) der gemäß (30) reahsierbaren Torsionswerte ist daher

multiphkativ abgeschlossen^^),

denn nach der vorangegangenen Konstruktion können wir bei x^ = t{Ki,L^) und

T2 = T {K2, L2) : Li = L2 ( = L) annehmen und (trivialerweise), daß K^—L und K2 — L fremd

zueinander sind, so daß ^{K^kjKi, L) = Ti • T2 gilt^^) Ich weiß jedoch nicht, ob Wh^{n)

i . allg eine Gruppe ist, denn die übhche Konstruktion zur Reahsierung von x~^ mit Hilfe

des Abbildungszylmders würde 1 allg. nicht е\та{К — L) ^ 2 ergeben

Wie man auf Grund von (3) oder mit Hilfe des Fox-Kalküls erkennt, bleibt bei einer Gruppenbeschreibung (32) mit (a), (jS), (y) die Torsion ungeändert, wenn man die folgenden ö**-Transformationen zulaßt

( A ) Konjugieren eines Rj mit einem Wort in den a,. Konjugieren eines Si mit einem behebigen Wort,

( B ) Invertieren eines Rj oder Si,

( C ) Anmultiplizieren von rechts eines R^ an ein Rj mit к ф], eines Rj an ein Si oder eines Si, an Si mit кф1, (Es darf allerdings kein Si an ein R^ anmultiphziert werden.)

Analog sind die elementaren freien Transformationen (D), (E) für die a^, b^ mit nahme des Übergangs von a^ nach a^bj, zulassig; ferner darf durch (F) eine neue zeugende а und eine neue Relation R = a oder eine neue Erzeugende b und eine neue Relation S=b eingeführt, oder, falls möglich, em dazu inverser Prozeß vorgenommen werden^^).

Eine endliche Folge solcher Transformationen möge eine relative Q^"^-Transformation heißen. Relative Q- und Q^-Transformationen sind definiert, indem man die Elementar- operationen zusätzhch auf Q- resp. ö*-Transformationen beschränkt. Es hegt nahe, Wh^{n)= 1 zu beweisen zu versuchen, indem man zeigt, daß durch relative g**-Transfor- mationen die b^ schheßlich alle beseitigt werden können.

^^ ) In manchen Fallen folgen aus (a) die weiteren Eigenschaften ganz oder teilweise, z В {ß) und (y) fur abelsche, (y) fur endliche Gruppen und (s Magnus [6]) {ß) im Falle, daß keine R^ vorhanden sind

^^ ) Fur behebige Gruppen n kann Wh* {%) definiert werden, indem man unendlich viele a», Rj (aber hin nur endhch viele b^, Si) zulaßt

^^ ) Ebenso leicht ergibt sich, daß ein Automorphismus von % einen solchen von Wh{n) induziert, der Wh* (я) in sich überfuhrt

^^ ) Es gelten dann wieder die den Fußnoten ^), ^) entsprechenden Bermerkungen mit der Einschränkung, daß die 0, resp Rj nicht durch die b^ resp Si verändert werden dürfen

Journal fur Mathematik Band 285