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Wunderlich , Schraubung im vierdimensionalen euklidischen Raum

Übersetzungen ± с berühren eine gewisse Leitquadrik, sofern die Projektion nicht aus einem Punkt der Tangentenhyperquadrik @ (4. 3) erfolgt. Diese Leitquadrik ist zu der die Bild- kurven tragenden, als Bild von а auftretenden Schiebfläche 4. Ordnung o^ (5. 2) konzentrisch und berührt sie längs einer Ratmikurve 4. Ordnung; auf derselben liegen die Henkelpunkte der Schraublinienbilder.

Zum Beweis des zweiten Teiles von Satz 5 bedenke man : Die Überebene Л schneidet die Schraubzyklide 4. Ordnung d = (9 n Z nach einer sphärischen Raumkurve 4. Ordnung 9 c: 9, die aus lauter Umrißpunkten von © besteht. In jedem solchen Punkt F g ^ ist also der Tangentialraum von © projizierend und bildet sich daher zusammen mit den in ihm enthaltenen, zu V gehörigen Tangentialebenen von о und 9 auf eine Ebene ab, die а"" und З"" in F* berührt. Die von den Punkten F° erfüllte Berührungslinie q'^ ist affin zur sphärischen Quartik q und mithin wie diese eine Raumkurve 4. Ordnung (I. Art.). Für einen Punkt Veq fallt der Tangentialraum von 0 laut Satz 4 mit der Schmiegüberebene der Bahn / von V zusammen. Seine Bildebene, die gemeinsame Tangentialebene von a'^ und Э'', hat daher vier in V zusammengerückte Punkte mit Г gemeinsam, ist also eine stationäre Schmiegebene von f ; F" ist somit ein Henkelpunkt von f. — Läßt man die Übersetzung с variieren, so erhält man oo^ Umrißquadriken S'*, welche die Schiebfläche a^ jeweils längs einer (nicht notwendig reellen) Quartik berühren. Hierzu gehören insbesondere für с = 0 oder oo die Umrißebenenpaare der Hyperzylinder Г bzw. J (3, 3) ; jede der vier Ebenen berührt a" längs einer Ellipse.

Nun ist noch die vorhin ausgeschlossene Annahme Le Л, also Le 0 zu erledigen, wobei der zu с = ± 1 gehörige Fall eines Überkegels 0 außer Betracht bleiben kann. Jetzt ist Л ein Tangentialraum und schneidet daher 0 nach einem Zylinder 2. Ordnung S mit dem Scheitel L. Die Projektion 5" schrumpft somit auf einen Kegelschnitt zusammen, der auch das Bild q" der sphärischen Quartik q = G n Л dargestellt, die wegen acz0 dem Zylinder S = 0 n Л angehört. Weil jede Zylindererzeugende die Sphäre I und damit die Kurve q in zwei Punkten trifft, erscheint q" doppelt überdeckt und ist daher mit der oben erwähnten Doppelhyperbel der Schiebfläche a^ identisch. — Jede Tangente e einer auf a verlaufenden Schraublinie / trifft die Überebene Л in einem Punkt UeS, dessen Projektion V als Treffpunkt der Tangente e"" von f mit q"" erscheint. Da also sämtliche Tangenten von P den Kegelschnitt q"" treffen, kann f als projektive Böschungslinie angesprochen werden. In Ergänzung zu Satz 5 gilt also

Satz 6, Sämtliche Tangenten der dreidimensionalen Parallelrisse aller oo^ auf einer Schraubzyklide а {3. 1) verlaufenden Schraublinien mit denselben Übersetzungen ±c(c^ + \) treffen die Doppelhyperbel der als Bild von а auftretenden Schiebfläche 4. Ordnung a^ (5. 2), sofern die Projektion aus einem Fernpunkt der Tangentenhyperquadrik 0 (4. 3) erfolgt. Die Schmiegebenen der Schraublinienbilder berühren diese Leithyperbel.

Die festgestellten Sachverhalte mögen noch an Hand des Prototyps (5. 3) näher geführt werden. Der zur Projektionsrichtung I = (0,1, 0, —1) polare Durchmesserraum Л von 0 (4. 3) hat die —jetzt in Kleinbuchstaben geschriebene — Gleichung

( 5 . 6 ) bh^y-hc^t^O.

Der projizierende, 0 berührende Überzyhnder ergibt sich durch geeignete kombination aus (4. 3) und dem Quadrat von (5. 6) mit

( 5 . 7 ) (a^-bV)(bVx^~a^z^) + a^feV(y-f-0^ = «^b^(^-bV)(c^-l).