Eiliger , Struktur galoisscher Erweiterungen einfacher Ringe 159

Beweis . Nach dem Beweis von Satz 2. 3. ist End^^^ = C[G] = C@- • •© C. Da die Ideale С von C[(j] paarweise nicht isomorph sind, ist auch 7}^ T^ für / + /:. Also folgt aus Xi = Xi,(x mit einem inneren Automorphismus a, daß Xi = x^ ist. Die Aussagen 2) bis 5) folgen nun aus Satz III, 5 in [2].

Bemerkung 1. Die Voraussetzung CgÄ in Satz 2. 4. läßt sich erreichen, indem man die Erweiterung A\BCbetrachtet.

Bemerkung 2. Ist die in Satz 2. 4. 2. definierte Halbgruppe regulär, also eine Gruppe, (z.B. wenn А ein Körper ist, wegen 3)), dann folgt т"' = а für eine natürliche Zahl щ, also ist

ba1^ = a1'{bx1^)=-a1'b(x = al4~^bt für alle beb,

also a^T^ G Va{B)~ C, und wir erhalten für einen Spezialfall die Aussage von Satz 1. 3.

3 . Diagonalisierung galoisscher Erweiterungen einfacher Ringe

Wir benötigen das folgende

Lemma 3. 1. Sei С ein kommutativer Ring, А und L seien C-Algebren, M^, Nj^, M^, iV^ Moduln. Dann sind M®qN und M' ®cN' in kanonischer Weise A (^^L-Moduln, und es existiert ein Homomorphismus

lA : Hom(M^, M;,) (x)cHom(iV^^, TVi)-> Hom^ ^^^^(M ®сiV, M'®c A^O

f®gv - ^ { m®n\ - ^ mf (X) ng)

mit fe Hom(M^, M^), g e Hom(iV^^, N'j}, me M, ne N.

Ist M^ und Nj^ endlich erzeugt und projektiv, dann ist ф ein Isomorphismus.

Lemma 3. 2. Sei ßMß ein (B, B)-Modul, ßM und Mß endlich erzeugt und projektiv, L eine kommutative C-Algebra für einen Ring С<^Zentrum В und cLfrei. Dann gilt:

( EndßMß ) ®c L^'Endß^^i^M ®c ^b0cL-

Beweis . Wir zeigen zunächst: (End^M ®c L) n (EndM^ ®q L) = End^M^ (х)^ L.

Liege т im Durchschnitt, dann besitzt x die Darstellungen

T = Z ^i ® -^i = Z ^i ® ^i

mit VieEnAßM, w^eEndM^ und einer Basis {xj von c^. Dann folgt Vi = UieEndßMß, also X e End ßMß ®cL.

Nach Lemma 3.1. wird x als Element von

Hom ( ßM , ßAf)®cHom(x^L, ^^L) unter ф in End(ß(g5^^^M(x)<^L) und als Element von

Hom ( Mß , Mß) ®c HomCL^^, LJ unter ф in End(M ®c Lß^^b) abgebildet, also liegt хф'т End{ß^^iM ®c ^ß®cL)• SatzЗ. 3. Sei A\B eine endliche inner galoissche Erweiterung einfacher Ringe, C^B (vergl. die Bemerkung 1 von Satz 2. 4.), I=Ani(A,B). Ist Cq\C separabel, L Zerfällungs-

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