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Lorenz , Permanenzprinzip für vektorwertige Distributionen

Gehngt es nun noch, zum Duahtätsfunktor fii-^fi^ einen ЛГ-Adjungierten K\-^K'^ zu finden, so entspräche dem rechten kommutativen Diagramm umkehrbar eindeutig ein kommutatives Diagramm

U i k^

die natürUche Transformation I wäre also durch k"^ „fortgesetzt" worden, und man hätte die Existenz von к anhand der Kommutativität des linken obigen Diagramms, also allein mit Hilfe der C-Komponente von I, testen können. Schließlich hätte man noch gern, daß K"^ im Fall K= 3) der Funktor

Lb^D'L = £(^,L)

„ vektorwertige Distributionen" ist, /r^ also eine Operation mit vektorwertigen tionen. Sollten alle diese Forderungen gleichzeitig erfüllbar sein — und wir werden das nachweisen —, so hat man das Permanenzprinzip für skalarwertige Distributionen zu einem völlig gleichwertigen Prinzip für vektorwertige Distributionen erweitert.

Wie üblich werde ich den (vom entsprechenden kategorientheoretischen Terminus weichenden) Begriff „Dualität" und den zugehörigen Liftungsprozeß zunächst abstrakt einführen und untersuchen, dann geeignete Funktorkategorien konstruieren und auf diese den abstrakten Apparat anwenden.

3 . 1 . Abstrakte Dualität

Die in diesem Abschnitt auftretenden F-Kategorien X, Y, .., werden sämtlich als cotensoriert vorausgesetzt, ohne daß dies gesondert erwähnt wird.

Eine Quasidualität auf der F-Kategorie X ist ein kontravarianter Funktor Х\~^ X"" von X in V, der einen F-Adjungierten auf der Rechten, Vh^ V von F in Л" besitzt. Die Funktoren Xh^ X"" bzw. Fi—► F"" werden Dualitätsfunktoren (auf X bzw. V) genannt, die Objekte V\ X"" Duale von F, X,

Ist eine Quasidualität auf X gegeben, so nennt man ein Paar (V, X) zusammen mit einem F-Pfeil V c^ X^ (äquivalent: einem Ä'-Pfeil X c^ P) ein Dualsystem und schreibt kurz <F, ЛС>. Der Pfeil V c^ X"" (bzw. X c^ V^ heißt kanonische Einbettung; ist er ein МопотофЫ8ти8, so heißt das Dualsystem < F, Jf> separiert in F (bzw. in X). Ein Morphismus von Dualsystemen, geschrieben

<i ; , x> : <Fi , Zi> - ><F2 , Z2> , ist ein Paar von Pfeilen

v : V , - ^V^ , х:Хг-^Х,, das eines (und damit beide) der folgenden Diagramme kommutativ macht:

Fl c, XC X^ c, V^

vi i x'^ X Î Î r"

F2 c, X2'

X2 c^ F/