168

Lorenz , Permanenzprinzip für vektorwertige Distributionen

Überein . Wir wollen deshalb Y\^ Y^ gelegentlich den erweiterten Dualitätsfunktor nennen im Gegensatz zum gelifteten Dualitätsfunktor V\-^ V^, seinem Adjungierten, und den vorgelegten Dualitätsfunktoren X\-^X^, Vh-^V. Manchmal werden wir auch von der X'Dualität und der Y-Dualität sprechen, und Begriffe der Dualitätstheorie mit dem Zusatz X' bzw. F- versehen, je nachdem auf welche DuaHtät sie sich beziehen.

Schließlich sei noch bemerkt, daß die Existenz eines F-Rechtsadjungierten 6 zu ^ für die Lösung des Liftungsproblems auch notwendig ist, wenn (wie im Fall X=L, F=Ä) die vorgelegten Dualitätsfunktoren voll treu sind, also zum einen X ^^ = X gilt für alle X, zum andern beide Funktoren auch adjungiert zueinander auf der Linken sind. In der Tat, aus diesen Bedingungen folgt nämlich mit Hilfe von (L1 ') sowohl

qY= ( qY ) ^^ = X{X(qY,J),J) = X(Y(Y,K),J)=Y^\

als auch die Rechtsadjungiertheit (im gewöhnlichen und damit wegen des >^-Adjunktions- satzes im F-Sinne) von A^i-> Z^^ zu Fi-> F^^ :

Y { Y , X'^ ) =ViX\ 7^)=F(r^\A).

Fassen wir das Ergebnis zusammen zum

Liftimgssatz . Das Liftungs-Problem ist lösbar, falls q ein treuer V-Reflektor ist, also V'Linksadjungierter einer voll treuen Einbettung s. Das darstellende Objekt der gelifteten Dualität ist dann eJ=K, Die Existenz eines V-Rechtsadjungierten г ist für die Lösung des Liftungsproblems notwendig, falls die vorgelegten Dualitätsfunktoren voll treu sind.

3 . 2. Fimktorkategorien

In diesem Abschnitt ist V eine beliebige Basiskategorie und X eine vollständige, lokal-kleine, tensorierte und cotensorierte F-Kategorie (was z.B. dann erfüllt ist, wenn X äquivalent zur Dualkategorie V^ von V ist). Weiter %q\ X\-^ X"^ eine Dualität auf X mit Adjungiertem Fi-> V^. Die Dualität werde von dem Objekt /=/'', notwendigerweise ein Cogenerator von X, erzeugt.

Seien % (5 beliebige kovariante (bzw. kontravariante) Endofunktoren auf X und ^X^Qf, ©) die Klasse der natürlichen Transformationen von 3 in ®- Dann ist

{ X , , X2 ) ^''XQX , , ( & X2 )

ein Funktor auf XxX mit Werten in M und verschiedenen Varianzen in den beiden Variablen. Ist weiter 'X^{% ®) eine Menge, und a^^ : ^X^(3, ®) -^ ""X^X, © A) für jedes X die natürliche Projektion f h-^ f^, so ist für jedes x'.X^-^Xi (bzw. x : X^ -^ Zj) folgendes Diagramm in M kommutativ :

^XQX , , ( bX , )

^x { Zx , , & X2 )

«X ( 3x , (&X2)