Lorenz , Permanenzprinzip fiir vektorwertige Distributionen

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Ist E ein Banachraum ohne Approximationseigenschaft — solche gibt es nach P Enflo [5] —, so gibt es einen Banachraum L, fur den (*) nicht injektiv ist ([6], chap 1, p 165), insbesondere gibt es ÜT-Funktoren, die nicht separiert sind

Besitzt ein kanonisches Spektrum von E die Approximationseigenschaft, d h ist £ ein TVR mit einem Fundamentalsystem absolutkonvexer Umgebungen (F,) derart, daß die Räume Ey^ dieses kanonischen Spektrums sämtlich die Approximationseigenschaft haben, so ist (*) injektiv fur jeden TVR L ([6], chap 1, p 169) Insbesondere gibt es separierte Funktoren, die nicht vom Typ „partieller Dualtensor" (d h partielles e-Produkt) sind, z В die Funktoren % wo E ein unendlichdimensionaler Banachraum mit Approxi- mationseigenschaft ist, etwa E=^^

Satz . Besitzt ein kanonisches Spektrum eines TVR E die Approximationseigenschaft, so ist der Funktor

% L\-^E®^L

separiert , insbesondere ist der Funktor

й^ L\-^ ^^ (g)^ L {..vektorwertige integrierbare Funktionen"")

ein separierter K-Endofunktor auj L

Wir haben damit nachgewiesen, daß die vektorwertigen Analoga all der Funktionen- raume, auf denen im ersten Kapitel die Standardoperationen der Analysis exemplarisch ausgeführt wurden, separierte ЛГ-Funktoren definieren

4 . 2. Operationen mit vektorwertigen Distributionen

In Kapitel 3 hatten wir gesehen, daß sich £-Dualsysteme <A^, fi> und L-Dualsysteme <^, fiC> umkehrbar eindeutig entsprechen (wegen £^ = (£C)'') Die Monomorphie (bzw Epimorphie) eines ÜT-Pfeiles К c^ Q^ ist also äquivalent zur Monomorphie (bzw Epi- тофЫе) von К c^ (fiC)^ Dieselbe Aussage gilt aber fur die Monomorphie (bzw Epi- тофЫе) eines £-Pfeiles

Lemma . Eine natürliche Transformation 2 c^ K^ ist genau dann monomorph {bzw epimorph), wenn ihre C-Komponente 2C c^ K"" monomorph {bzw epimorph) ist

Beweis Der treue Funktor 2 v-^ ßC reflektiert Mono- und Ер1тофЬ18теп ■

Die beiden Monomorphieaussagen besagen u а, daß ein £-Dualsystem <АГ, £> genau dann separiert in К (bzw fi) ist, wenn das ^-Dualsystem <ä:, fiC> separiert m К (bzw £C)ist

Da jeder Morphismus von £-Dualsystemen

umkehrbar eindeutig dem МофЬ18ти8 von L-Dualsystemen

ik , \c> <K,.2,Cy^<K2,22C}

entspricht , ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Fortsetzung von I £2 -* ^i äquivalent zur Existenz und Eindeutigkeit einer Fortsetzung von I^ Hierbei bedeutet „Fortsetzung"

Journal fur Mathematik Band 292