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No lie, Relationenproblem fiir Untergruppen orthogonaler Gruppen

ist . Sei <fl> der von аФО erzeugte eindimensionale Teilraum; ist jB(<t) = <û> nichtsingulär, so setzen wir бг = (7д und nennen a^ die Symmetrie längs a. Es gilt die Spiegelungsformel

^ fix, ä) xffa = x — 2 —-------а fiir alle xe V.

Mit 0* = 0*(K,/) bezeichnen wir die von den Symmetrien längs nichtisotroper Vektoren erzeugte Gruppe, die sogenannte engere orthogonale Gruppe von (F,/).

Für Isometrien a, ß von (K,/) bedeute a^ die Isometrie ß~^ixß. Eine Isometrie q eines regulären schen Vektorraums heißt Rotation, wenn dim B{q) = 2 ist.

Im folgenden werden einige bekannte Aussagen angegeben, deren Beweise etwa in [1]^) nachzulesen sind. Für nichtisotrope Vektoren a,b eines metrischen Vektorraums (V,f) gilt: 1) о^д = (Тьо <ö[> = <Z>>. 2) (Та^ = <Та<гь- 3) а 1 bodgC^b ist involutorisch. 4) Für f{a,ä)—f{b, 6)Ф0 ist a-\-b 1. a — b, und wenigstens einer der Vektoren a-{-b,a — b ist nichtisotrop; ist а — 6 nichtisotrop, so ist аcr^.j, = b, und ist a + Z> nichtisotrop, soistaö-a+t= —6.

Sind a, )5 Isometrien von (F,/), so gilt: 5) Ist x g F(a) und a = tr^i • • -(^а^ und sind nicht alle «i, ..., a^ aus x-L, so sind «i, ..., «k linear abhängig. 6) В (aß) g 5(a) + B{ß). 7) Ist a = er«, о^аг^'^аз ^^^ sind öti, Лз, ^з linear abhängig, so ist a eine Symmetrie, deren Bahn in <ûfi, Лг» ^з> enthalten ist. 8) F(a) 1 B{ol). 9) B(ix)^ = F(ix), wenn (K, /) regulär ist.

Für jede singulare Rotation q eines regulären metrischen Vektorraums (K,/) gilt. 10) q läßt sich als Produkt von vier, aber nicht von weniger als vier Symmetrien darstellen. Die erste der vier Symmetrien kann dabei beliebig vorgegeben werden. 11) Gilt Q=^<7aai,ac<^a, so ist dim <a, 6, c, fi?> = 3; je drei der Vektoren a, b, c, d sind linear unabhängig, und die eindimensionalen Teilräume <a, 6> n <c, J>, <Z?, c> n <a, d) sind singular.

Die zuletzt genannten Aussagen 10) und 11) leitet man leicht aus dem in [9] bewiesenen Satz her, daß für jede Isometrie a eines regulären metrischen Vektorraums gilt: Ist m = dimÄ(a)< oo und ist a nichtsingulär (bzw. singular), so läßt sich a als Produkt von m (bzw. m -h 2), aber nicht von weniger als m (bzw. m -f 2) trien darstellen.

In [6], 2. 3 und 2. 8 wurde bewiesen:

Lemma 1. Sei (F,/) ein regulärer, endlichdimensionaler metrischer Vektor räum und ol eine singulare Isometrie von V. Dann gilt:

( a ) dimB(ix) ist gerade.

( b ) Ist dim В (ol) = 2 k, so ist а Produkt von к singular en Rotationen, deren Bahnen in В (а) enthalten sind.

Da für jede Symmetrie (Та<Та|^^^ = 1 ist, erhält man für die Restriktion von Relationen die Aussage:

Lemma 2. Sei T ein Teilraum des metrischen Vektorraums (F,/) und es sei T-^T^=V; eine Relation 0-Д,.. .оГд^^ = 1 zwischen Symmetrien, deren Bahnen sämtlich in T liegen, gilt genau dann in V, wenn sie in Tgilt.

2 . Die oiÜM^onale Grappe (С, S)

Sei (F,/) ein metrischer Vektorraum und V ein Unterraum von F. Mit S nen wir die Menge der Symmetrien von (F,/) mit Bahnen in Fund mit G die von S erzeugte Gruppe orthogonaler Abbildungen. Wir nennen das Paar (G, S) die zu F, F gehörende Gruppe,

^ ) In [1] wurde dim F< oo vorausgesetzt; man prüft leicht nach, daß die zitierten Aussagen auch für dim Fä 00 richtig sind.