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Nolte , Relationenproblem fiir Untergruppen orthogonaler Gruppen

5 . Der Ausnahmefall

Die Voraussetzung dim F< oo lassen wir fallen und überlegen vorbereitend die den Hilf saussagen :

Lemma 6. Sei H ein zweidimensionaler Vektorraum über dem Primkörper F^ der Charakteristik 3; H enthalte isotrope Vektoren ФО. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

( 1 ) H ist eine hyperbolische Ebene

( 2 ) H enthält zwei nichtisotrope Vektoren Xj, Хз mitf{x^, Xj) Ф/(х2, Хз).

Gilt (2), so ist Xj ± X2.

Beweis . Ist H eine hyperbolische Ebene, so enthält H nichtisotrope, zueinander orthogonale Vektoren x^, X2. Da /(x^ + X2, x^ + X2) = 0 und /(xj, X2) = 0 ist, ist einer der Werte/(xi, Xi),/(x2, X2) gleich +1 und der andere gleich -1.

Sind Xi, X2 zwei nichtisotrope Vektoren mit/(Xi, xj Ф/(х2, X2), so ist Я= (x^, X2> regulär.

Lemma 7. Sei V ein Vektorraum über dem Körper F^, V ein Unterraum von V und för V, V sei die Bedingung (A) erföllt. Dann gilt :

( a ) Sind a, b nichtisotrope Vektoren aus V mit f(a, a) 4=f(b, b), so ist а ± b, also

( b ) Ist (TaO^b^c^d^"^ fö^ a, b, c, de V und ist f(a,a)+f(b,b)\ (т^ФсГс, so folgt

( c ) Sind a^, ...,ajfcG F nichtisotrope Vektoren mit gleichen Formwerten f{ai,a^, so gilt (in G bzw. inF): a^^...a^^ = \o a^, ^,.,00^^^ 1.

( d ) Jedes Element cr^^ о,.. о <t^^ aus F besitzt die Darstellung

mit f{bi, Ьд = 1; ficj, Cj)= - 1 und {(т„,, ...,бг^ = К,, *'^,(ybj ^ Ki. ...,<^c^-J.

Beweis . Da jeder zweidimensionale Teilraum von V isotrope Vektoren ф 0 enthält, erhält man (a) aus Lemma 6. (b) erhält man aus Lemma 6, da <a, 6> genau zwei singulare und zwei nichtsinguläre eindimensionale Teilräume enthält. Zum Beweis von (c) legen wir: Sei ve V ein nichtisotroper Vektor mit f(v, v)=¥f(ai, a^. Dann gilt nach (a) г; 1 öj, ..., ûfc. Ersetzen wir F, V durch V r\v^ und V nv^, so erhalten wir die hauptung mit Lemma 2 aus dem bewiesenen Teil des Theorems, da für V n v^, V n v^ -П (A) erfüllt ist. (d) folgt leicht aus (a), (b), (c).

Satz3 . Sei (V,f) ein metrischer Vektorraum über dem Körper F3, V ein Unterraum von F, und es sei die Bedingung (A) (aus Teil 2) erfüllt. Ist G die Gruppe orthogonaler bildungen von F, welche von der Menge S der Symmetrien mit Bahnen in V erzeugt wird, so gibt es %-stellige Relationen zwischen Elementen von 5, welche nicht Folgerelationen 2- und 4stelliger solcher Relationen sind. Die 2-, 4- und %-stelligen Relationen zwischen Elementen von S bilden ein System definierender Relationen für G.

Beweis . Sei Яс F die hyperbolische Ebene aus (A). H enthält linear unabhängige nichtisotrope Vektoren x^, X2 mit/(Xi, Х1)Ф/(Х2, Xj) und x^ 1 Xj (Lemma 6), und es sei