Diskrete Mittel für einige Zetafunktionen

Von A. Good in Princeton

1 . Einleitung

Bezeichne С die Riemannsche Zetafunktion, s = (T-]-it eine komplexe Variable und

d ( n ) die Anzahl der positiven Teiler einer natürlichen Zahl n Hardy und Littlewood [6]

1 bewiesen, daß für er > — gilt

л T 00

( 1 ) --j |С(а + /ОГЛ= i: d\n)n-^''^o{ll wenn T-^oo .

^ 1 n = \

Für (j> 1 läßt sich dies sofort zeigen, da C^ in der Halbebene (j> 1 die absolut konvergente Dirichletreihenentwicklung

00

( 2 ) С'(^)=1Ф)«''

n = l

besitzt . In diesem Falle ist C^'(s), betrachtet als Funktion von t, auch fastperiodisch im Sinne

1 von Bohr und (1) ist die Parsevalsche Gleichung für diese Funktion. Für ~—<a^i gilt aber

weder (2), noch ist C^(s) als Funktion von t im Bohrschen Sinne fastperiodisch. Dennoch

konnten Hardy und Littlewood unter wesentlicher Verwendung einer sogenannten ap-

1 proximativen Funktionalgleichung zeigen, daß (1) für alle ö- > — gültig ist. Mit etwas mehr

1 Aufwand läßt sich (1) für -—- < a ^ 1 sogar zu

л T 00

( 3 ) _J|C((T-f/OI^^^= Z cf(n)n-^'-hO{T'-^'^\og'T),T-^oo,

verschärfen .

In jüngerer Zeit [9] wurden obere Schranken für diskrete Mittel der Form

( 4 ) yZ K((x+/gr

1

benutzt , um die Nullstellendichte von С in der Halbebene (J>-— nach oben abzuschätzen.

0075 - 4102 / 78 / 0303 - 0003$02 . 00 Copyright by Walter de Gruyter & Co.