Neubrand , Einheiten in Funktionen- und Zahlkörpern

\11

Offenbar ist das Gleichungssystem (12) genau dann nichttrivial lösbar, wenn das Teilsystem (rechts unten)

( 13 )

oder abgekürzt (14)

/ ^m + 1 ^m......^g+lX In

A A A \ ^^

^m + 2 ^m+1 ^S+3

\^2m - 1^2m - 2 - • • -^g+mj

Aß = 0

Pw - fif - lj

( 0 )

mit m — 1 Gleichungen für m—g Unbekannte eine nichttriviale Lösung besitzt. Das Gleichungssystem (13) bestimmt dann auch die Lösungsvielfalt des vollen systems (12), da nach Lösung von (13) die ao,..., a^ durch (12) eindeutig hinzubestimmt werden.

Nichttrivial lösbar ist (13) genau dann, wenn der Rang der Matrix A kleiner als m—g ist. Nun ist aber

( 15 )

Rg^^m - g - l ,

da im Falle der nichttrivialen Lösbarkeit für die Lösung u = p{z)-\-q{z)w die gleichung (4) gilt und daher и bis auf eine multiplikative Konstante bestimmt ist. Man kann deshalb die Matrix А durch Elementarumformungen von links auf folgende Gestalt bringen :

( 16 )

TA =

/ V ;

*

; \

0

\

k , { A )

Dabei stehen in der Diagonale an den Stellen * von Null verschiedene Elemente. Offensichtlich ist nun (13) genau dann nichttrivial lösbar, wenn sämtliche Größen ki{A),..., kg{A) in (16) verschwinden. Dies sind g Bedingungen — wie im Abelschen Theorem, dort aber transzendent hier algebraisch —, die nach Vorgabe des körpers C{z, w) nachgeprüft werden können.

Für g = 0 sind natürlich keine Bedingungen zu stellen. Eine bekannte Tatsache zeigt sich hier: Im rationalen Funktionenkörper ist jeder Divisor vom Grad 0 Hauptdivisor. Für g=l ist k^{A) bis auf einen Faktor ФО die Determinante der Matrix A. Als barkeitsbedingung haben wir also

' Л Л л ^

( 17 )

det

= 0.

\^2m - l • • • • ^m+li