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Mennicken und Sagraloff, Untersuchungen über Fredholmpaare. II

ist also die Ausgangssituation im Beweis zu [15], (5. 37) hergestellt, so daß die dortige Schlußweise für No = Xx {0} die Existenz eines konfinalen Teilsystems Г" аГ' mit

liefert , womit die Aussage „Г+у4 offen (bezüglich Г'У bewiesen ist.

Schließlich fließt die Abgeschlossenheit der Bildräume R{T), R(T-hA) aus der gerung (2. 15). Dabei ist zu berücksichtigen, daß die Nullräume N(T), N(T+A) endlich- dimensional sind und infolgedessen — vgl. die Bemerkung [15], (4. 20), 1) — die Quotientenräume X/N(T) und X/N{T^A) vollständig sind.

Wir notieren einige ergänzende

( 7 . 12) Bemerkungen. 1) Wie ein genaueres Studium des vorangehenden Beweises lehrt, wird die Vollständigkeit des Bildraumes Г nur benötigt, um über den Hilfssatz (3. 3) die Abgeschlossenheit von T-\-A zu garantieren. Daher kommt man ohne die Vollstän- digkeit von Y aus, falls a priori bekannt ist, daß T+A abgeschlossen ist, was natürlich zutrifft, wenn D{A) = X una b^pq^ = 0 für (/?, q) e Г, mithin A stetig ist. Vgl. hierzu auch de Wilde [5], S. 221, Proposition (3. 2), wo man den einfachen Spezialfall, daß X Banachraum und F normierter Vektorraum ist, behandelt findet.

2 ) Die Voraussetzung (7. 2) ist erfüllt, falls T offen ist und für alle q aus dem (beliebigen) Basissystem Г„ mit geeigneten 0 ^ Z?^ < 1

( 7 . 13 ) q{Ax)^\qiTx) (xe 0(Тс))

gilt . Dies erkennt man folgendermaßen: Mit T ist auch Г^ offen; daher kann man nach (2. 7) ein Basissystem ГаГ^хГ^ wählen, so daß y(p,q)(Tc) >0 für (/?, q) e Г. Es bleibt dann offenbar für diese (p, q) a^^p^ ^^ = 0, b^p^ ^^ = b^ zu setzen.

Eine derartige Situation legt van Dulst in [3], S. 35 und in [4], S. 354 einem seiner dortigen Haupttheoreme zugrunde. Er macht dabei jedoch wesentlich stärkere bzw. völlig unnötige Einschränkungen. So verlangt er weitergehend, daß Y Banachraum, XxY Ptakraum sowie T ein Fredholmoperator mit dichtem Definitionsbereich ist; zusätzlich fordert er, daß A schwach-stetig ist.

Allein schon die Voraussetzung „ F Banachraum" ist gravierend. Sie reduziert nämlich sein Haupttheorem zu einem reinen „Banachraum-Resultat", was besagen soll, daß sich der Beweis vorwiegend mit störungstheoretischen Mitteln aus der Banachraumtheorie führen läßt; dazu ist — vgl. den Beweis zu (6. 23) — Ij^ + AcTc^ als Abbildung von R in 7 zu betrachten.

3 ) Eine elementare Abschätzung liefert für (p, q)e Г^х Г„

( 7 . 14 ) y,p^^{Tc)uyip,,iT)',

dabei zeigen einfache Beispiele, z.B. im f?^, daß hier i.a. nicht das Gleichheitszeichen gilt. Es scheint daher nicht möglich, in (7. 2) 7(р,^)(Гс) durch T(p,^)(71 zu ersetzen.