Körner , Ordnungen von Quaternionenalgebren über lokalen Körpern

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Lemma 10. Eine Ordnung M von Q ist irreduzibel und besitzt eine Orthogonalbasis {über o) genau dann, wenn

( 12 ) M^M,(0,/O)

gilt für eine Ordnung О einer an Q angepaßten zweidimensionalen separablen F-Algebra К und für ein t e K"" mit T(C))^2o und qN{t)EO.

Beweis , (a) Zur Notwendigkeit von (12): Wir dürfen annehmen, daß M (s. legung zu (3)) orthogonale Summe M = Li IL2 zweier binärer Gitter ist und Li bzw. L2 eine Orthogonalbasis der Form 1, Xi bzw. ^2, x^ hat. Bei geeigneter Numerierung der Xi darf N{xi) o^N{x2) o^N{x^) 0 vorausgesetzt werden. Nach Satz 1 folgt nun (12) mit der Wahl 0 = Li, da nach (5) und (6) sowie Satz 3(b) hier/i=^ sein muß.

( b ) Zur Hinlänglichkeit von (12): Aus (12) und Satz 3(b) folgt mittels (5) und (6), daß M irreduzibel ist. Wegen r(D)S2o hat О nach [7], 82:15a eine Orthogonalbasis der Gestalt l,y. Folglich hat auch M eine Orthogonalbasis nach (12), q.e.d.

In den nächsten Sätzen sind vollständige Systeme von Isomorphie-Invarianten für die irreduziblen Ordnungen von Q angegeben. Dabei werden die Primitiven gesondert betrachtet. Bei den Imprimitiven wird im dyadischen Fall noch die Einschränkung p = 2o gemacht. Zunächst wird der nicht-dyadische Fall behandelt.

Satz 6. Es seien Mi und M2 primitive Ordnungen von Q und pJf^l. Genau dann ist Mi=M2, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

( a ) d,{Mi) = d,iM2) und {MxIV) = (Л/2/Р).

( b ) ô{xi) = ô{x2) für mindestens ein Paar (xi, X2) aus Mi x M2 f^it

( 5 ( xJ 0 = ^(^2) o = p, falls (Milp) = 0 und dXMi) g p^ gilt. {Und dann gilt ô{xi) ^ ô(x2) für jedes solche Paar.)

Beweis . Nach Satz 5(b) haben wir mit den dortigen Angaben: Afj =Mq(£)jc, tCj^). Aufgrund des Korollars zu Satz 4 dürfen wir uns auf den Fall (Mi/p) = 0 beschränken. Nach Lemma 6 ist К eine quadratische Körpererweiterung von F, in der p verzweigt ist und qN(t)ep, also N(t) o^p"" mit a^O. Ferner ist Oj^ = o + o|/ — тг für ein element TT von 0. Dann ist N{t)^n'', denn N{t)n~'' liegt in iV(A:) n u. (Hier und überhaupt im nicht-dyadischen Fall beachte man, daß für beo aus b^\ modp stets b^\ folgt.) Somit hat man nach (4) die Isometrie

( 13 ) М1^<1>1<7Г>1<-^Я''>1<~^7Г«^^>

und eine dazu adaptierte o-Basis von Mi der Gestalt 1, Xi, Х2, x^. Es folgt ßf^(Mi)=9p''"^^

Fall 1. ^ДМО^р^. Hier ist —qif^zn mit г eu. Folglich ist nach (13) sowie [7] (92:1 und 92:2) dann eis Mi durch die Größen (s/p) und d^Mi) festgelegt. Da aber ( — e/p) = 1 bzw. — 1 ist, wenn Q isotrop bzw. anisotrop ist, ist dieser Fall erledigt.

Fall 2. d,{Mi) g p^ Nach (13) gilt 5{x) ^ - тг für alle xeMi mit ô{x) 0 = p. Da die Quadratklasse von q (d.h. qn^) durch Q und die Quadratklasse von n festgelegt ist, ist eis Ml durch d^Mi) und die Quadratklasse von n bestimmt, q.e.d.

Journal für Mathematik. Band 333

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