Klingen , Das Einbettungsproblem bei Beschränkung der Verzweigung 101

4 . Reduktion auf zwei Teilprobleme endlicher Natur

Öie Anwendung des Dualitätssatzes in 3. ermöglichte eine äquivalente Umformung aller drei Probleme in gleichartige Fragen über die besser überschaubare eindimensionale Kohomologie. Aber sie betreffen die Kohomologie der proendlichen Gruppe Gs- Die gestrebte Aufspaltung in zwei Teilfragen „endlicher Natur" geschieht mit der sequenz von Hochschild-Serre für die Gruppenerweiterung

1 -^ G{K'\k) -> G{ks\k) -^ G{ks\K') -^ 1

mit K'\k endlich galoissch, k{A')^K'^ks,. (In den Anwendungen wird

K' = k{Ä) oder K'= k{A\ iii,) = k{A, A')

sein . )

Aus dem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen

0 - - - - ^ H'{K'\k,Ä) ----> HHGsM') ----^ H^{ks\K\Ä)'^^^'^''^----^ННК'\к,А')---->HHGs.A')

Inf Res tg Inf

0 - - - - у П H\K'^\k,,A')----► П H'(G^,Ä)—► П н\к^\к:^,А')

peS\T peS\T peS\T

ergibt sich nach dem Schlangenlemma die exakte Sequenz {K'{S, T) bezeichne den Kern von p):

( * ) 0 -> Ke4,T -^ Ke Л^ г -^ K'{S, T) n Ke tg -> Koke4,r.

Wegen A\ = A\ç^ sind diese Überlegungen auch in den Fällen (A) und (C) anwendbar. Es sei dann K'{S):=K'{S, 0) gesetzt.

Die in Satz 5 gewonnenen äquivalenten kohomologischen Kriterien (A')—{C) für die eingangs genannten Fragen (I)—(III) über Einbettungsprobleme betreffen alle die Gruppe

Ke A^ j.

Mittels (ж) läßt sich die Untersuchung von Ke Л^ ^ auf KeAs ^ und K'{S, T) reduzieren. Ähnliche Überlegungen, insbesondere für zyklisches Л, finden sich bei B. Riou-Perrin [19]. ¥^qX\j ist seiner Definition nach eine endliche Bildung. Es soll daher zunächst K'{S, T) genauer betrachtet werden.

Es bezeichne dazu im folgenden

S^ für einen Oberkörper L von к die Menge der Primstellen von L über S,

Cls ( L ) = Cl(L)/<^|^ G S^y die S'-Klassengruppe von L, definiert als Faktorgruppe der Idealklassengruppe C1(L) von L nach den Idealklassen, die Primideale von S^ halten,

K's^j die maximale abelsche Erweiterung von K' mit е = ехр(ЛО als Exponent, die außerhalb T unverzweigt ist und in der S^\T^ voll zerlegt ist,

Cpr eine primitive р''-iQ Einheitswurzel,

Г1 / . = Ci^ + Ci^^ Erzeugendes für den maximal reellen Teilkörper 0(/i2*)^ von

Journal für Mathematik. Band 334 14