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Dicker t. Über die absolute Galoisgruppe dyadischer Zahlkörper

§ 3 Die Stnds:tiir der absoluten Galoisgruppe dyadischer Zahlkörper, deran maximale zahm-verzweigte Erweiterung die vierten Einheitswurzeln enthält

Sei к ein dyadischer Zahlkörper vom Grad n über O2, ßr die Gruppe der heitswurzeln von 2-Potenzordnung in der maximalen zahm-verzweigten Erweiterung T von k, q die Ordnung von //^ und/der Trägheitsgrad von к über O2, also 2^ die Anzahl der Elemente im Restklassenköфer von k. Ferner sei q>2, d.h., es ist k(\/^^)/k verzweigt, (insbesondere ist der Fall j/^eÄ: mit eingeschlossen). Aus gründen ist dann der Grad n gerade. Wir können jetzt das Hauptergebnis der Arbeit formuheren.

3 . 1 Theorem. Die absolute Galoisgruppe Gi^ = G{lc/k) von к ist isomorph zur pro- endlichen Gruppe X, die wie folgt definiert wird: die pro-endliche Gruppe X werde von n + 3 Elementen tr, t, Xq,. .., x„ erzeugt mit den definierenden Relationen:

A . Der von Xq,. .., x„ erzeugte Normalteiler ist eine pro-2-Gruppe.

B . Es gilt die „zahme" Relation: axa~^ =x^^.

C . Es gilt: oxqG~^ ={х^хУ^xflxi, X2^ ••• [^:„_i,x„]; dabei sei neZ mit nî = Z2 und ge Z2 durch die Operation eines Frobenius a' auf ja^ gegeben, also o'{Q = C^ für С e ß^.

Bemerkung . Da т auf ju^ trivial operiert, stimmt das Element (xozY mit dem in der Einleitung definierten Element (xq, t) überein.

Eine andere Darstellung von Gj, mit w4-2 Erzeugenden und einer wesentlichen Relation liefert :

3 . 2 Tbeorem. Die absolute Galoisgruppe G^ ist isomorph zu der pro-endlichen Gruppe X\ die von n + 2 Elementen o", z, Xj,..., x„ erzeugt wird mit den definierenden Relationen

A\ Der von z", Xi,..., x„ erzeugte Normalteiler ist eine pro-2-Gruppe,

B\ Mit w:=z"*'z'''^x?[xi,X2] ••• [x„_i,xj gilt

awa " ^ =w^^.

Dabei seien nel und g6Z2 wie in 3.1 gewählt.

Beweis von 3.1 und 3.2. Die Isomorphic der pro-endüchen Gruppen X und X' ist trivial, siehe [11], 1. 4.d). Zu zeigen ist daher nur 3.1.

Sei ^ = G{T/k) die Galoisgruppe der maximalen zahm-verzweigten Erweiterung über k. Nach Hasse [3] und Iwasawa [5] besitzt die Gruppe ^ zwei Erzeugende er und т mit der definierenden Relation сгтет"^ =т^^. Die Operation von ^ auf ßj definiert einen

Charaktera : ^ - - - - - ^Z / ^ " =Aut(//î^)durchр(0 = Г"'^''^fürpe ^, Ce/г^^. Seiф^:(7^—>^

die kanonische Projektion und ф:Х-----►^ durch ф(а) — а, ф(т) = т, <^(X|) = 1 für

/ = 0,...,« definiert. Die Beweisidee ist es zu Äigen, daß {Gl,,ф^ und {Х,ф) zwei Demuskinformationen über ^ mit den gleichen Invarianten w, q und а sind. Nach dem Eindeutigkeitssatz sind dann die pro-endHchen Gruppen G^ und X isomorph und das Theorem 3.1 ist bewiesen.